Интегралы от основных элементарных функций.

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

(1)

(2)

(3)

для произвольного интеграла, не содержащего точки х=0

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием (см. определение неопределенного интеграла).

Методы интегрирования.

Методы интегрирования
Метод разложения	сумма табличных интегралов
Метод подстановки (замены переменной)
Метод интегрирования по частям

Замечания

• Интегрирование, как правило, значительно сложнее дифференцирования. Оно не является механическим, требует большей практики и изобретательности.

• Интегрирование – действие, обратное дифференцированию, и его можно проверить дифференцированием.

• Некоторые обратные действия в математике не однозначны и не всегда выполнимы; здесь это приводит к существованию так называемых неберущихся интегралов.

Тема 2.2. Определённый интеграл Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [а, Ь] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =f(х), прямыми х = а, х =Ь и осью абсцисс у=0 (см. рис. 1.1). Говорят также о площади S под кривой у =f(x) на [а, Ь]).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(х) на [а, Ь] (см. рис. 1.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь Sл (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y =f(x), то справедливо приближенное равенство S = S_л. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади S_л под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. На этом пути мы получим, в частности, понятие определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы. Пусть на [а, b] задана функция у =f(х). Разобьем отрезок [а, Ь] на п элементарных отрезков точками х₀, x₁ ..., х_n: а=х₀<х₁<х₂< ...<х_n=Ь. На каждом отрезке [x_i-1, x_i] разбиения выберем некоторую точку ξ_i и положим Δx_i = x_i – x_i-1

Сумму вида

σ = f(ξ₁)Δx ₁ + f(ξ₂)Δ ₂ +…+f(ξ_n)Δx n = (*)

будем называть интегральной суммой для функции у =f(x) на [а, Ь]. Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [а, Ь] точками х₀, x₁, ..., x_n, так и от выбора точек ξ _I на каждом из отрезков разбиения [x_i-1,x_i], i =1,2,…,n.

Геометрический смысл интегральной с уммы. Пусть функция y = f(x) неотрицательна на [а, Ь]. Отдельное слагаемое f(ξ_i)Δx _I интегральной суммы в этом случае равно площади S, прямоугольника со сторонами f(ξ_i) и Δx_i где i =1, 2, ..., п (см. рис. 1.3)

Другими словами, S_i— это площадь под прямой у =f(_i) на отрезке [х _I-1 ,х_i]. Поэтому вся интегральная сумма равна площади S_л = S₁+S₂+…+S_n под ломаной, образованной на каждом из отрезков [x_i-1, х_i ] прямой y =

f(ξ_i), параллельной оси абсцисс (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3

Понятие определенного интеграла. Для избранного разбиения отрезка [а, Ь] на части обозначим через max∆x_i, максимальную из длин отрезков [х_i-1, х_i], где i =1, 2, ..., п.

О пределение: Пусть предел интегральной суммы (*) при стремлении max∆x_i к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁,х₂,... и точек ξ₁, ξ₂,…,ξ_n. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у =f(x) на [а, Ь], обозначается

а сама функция у =f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, Ь], т.е.

При этом число а называется нижним пределом, число Ь — его верхним пределом; функция f(x) — подынтегральной функцией, вы­ражение flx)dx — подынтегральным выражением, а задача о нахождения ∫ f(x)dx — интегрированием функции f(x) на отрезке [а, Ь].

Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы (*).

Н есмотря на сходство в обозначениях и терминологии, опре­деленный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как ∫ f(x)dx представляет семейство функций, есть определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция у = f(х) неотрицательна на отрезке [а, Ь], где а<Ь, численно равен площади S под кривой y=f(x) на [а, Ь] (см. рис. 1.1).

Д ействительно, при стремлении max ∆х_i, к нулю ло­маная (см. рис. 1.3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой. Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

(Первый из интегралов — площадь квадрата со стороной единичной длины; второй — площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий — площадь четверти круга единичного радиуса).