4.1 Теоретичні відомості
Результати випробувань можуть дати можливість знайти математичний опис отриманих закономірностей, тобто вивести відповідні формули, за якими можна обчислити показники надійності. Такі формули прийнято називати математичними моделями [2, 3, 8, 13].
Оскільки показники надійності є випадковими величинами, то їх математичні моделі повинні показати, як розподіляються показники надійності в залежності від напрацювання. Такими моделями є закони розподілу випадкових величин.
Існує ряд законів розподілу випадкових величин. Найчастіше використовують для технічних об’єктів нормальний, експоненціальний, логарифмічно-нормальний закони розподілу та закон розподілу Вейбулла-Гнеденко.
Експоненціальний закон розподілу є однопараметричною функцією з параметром розподілення λ, що являє собою інтенсивність відмов. Тобто інтенсивність відмов постійна λ = const. Це означає, що в рівні проміжки часу число несправних виробів, що припадають на кожний справний до цього моменту часу, буде постійним.
Експоненціальним законом розподілу можливо апроксимувати час безвідмовної роботи великої кількості об’єктів, під час експлуатації в період після припрацювання. Характеризує раптові відмови [4, 13].
На рисунках 4.1 – 4.4 наведені залежності ймовірності безвідмовної роботи, ймовірності відмови, щільності відмов та інтенсивності відмов від часу експоненціального закону розподілу при параметрі λ = 0,15.
Рисунок 4.1 - Ймовірність безвідмовної роботи експоненціального закону розподілу
Рисунок 4.2 - Ймовірність відмови експоненціального закону розподілу
Рисунок 4.3 – Щільність відмов експоненціального закону розподілу
Рисунок 4.4 - Інтенсивність відмов експоненціального закону розподілу
Задача 4.1
Час роботи лампи освітлення до відмови підкорюється експоненціальному закону розподілу з параметром λ = 2,5·10-5 1/год. Необхідно визначити кількісні показники безвідмовності при t = 1000 год.
Розв'язання
Імовірність безвідмовної роботи при експоненціальному розподілі розраховують за формулою
.
(4.1)
.
Імовірність відмови за формулою (3.7) дорівнює
.
Щільність відмов визначається по формулі
,
(4.2)
або
.
(4.3)
1/год.
Середній час безвідмовної роботи визначають по формулі
.
(4.4)
год.
Нормальний закон розподілу (закон Гаусса) в ряді випадків добре погоджується з експериментальними даними випробувань на надійність. Це відноситься до таких процесів, при яких відмови викликані багатьма причинами, що впливають рівномірно на технічний об’єкт.
Модель нормального закону розподілу добре описує відмови, що виникають в елементах конструкції вагонів в процесі зношування, втоми та корозії деталей, працюючих при номінальних (розрахункових) режимах навантаження [4].
Параметрами розподілу є середньоквадратичне відхилення σt та математичне очікування тt.
Крива щільності симетрична відносно ординати в точці t = тt (рисунок 4.5).
Задача 4.2
Необхідно оцінити ймовірність відмови та інтенсивність відмов буксового вузла після напрацювання t = 150 тис. км. Ресурс по зносу підшипника описується нормальним законом з параметрами: тt = 450·103 км; σt = 120·103 км.
Рисунок 4.5 – Щільність відмов нормального закону розподілу при тt = 10 міс., σt = 3 міс.
Розв'язання
Щільність відмов при нормальному законі розподілу визначають по формулі
.
(4.5)
Для поліпшення процесу розрахунку використовують довідкові таблиці нормованого нормального розподілу, для котрого тt = 0 од., σt = 1 од. Здійснюється попередня заміна
,
де х - квантиль нормованого нормального розподілу.
Використовується залежність виду
.
(4.6)
Тоді щільність розподілу має вигляд
,
(4.7)
де φ(х) –функція, значення якої визначають по таблицям (таблиця А.1).
.
Ймовірність відмови знаходять по формулі
,
(4.8)
де Ф(х) – функція Лапласа, яка знаходиться по довідковим таблицям (таблиця Б.1).
Відомо що сума ймовірності відмови та ймовірності безвідмовної роботи дорівнює одиниці, тому
.
.
.
Інтенсивність відмов знайдемо через відношення (4.3), тобто через щільність розподілу відмов.
.
(4.9)
.
1/км.
На рисунках 4.6 – 4.8 наведені залежності ймовірності безвідмовної роботи, ймовірності відмови та інтенсивності відмов від часу нормального закону розподілу при параметрах тt = 10 міс., σt = 3 міс.
Рисунок 4.6 - Ймовірність безвідмовної роботи нормального закону розподілу
Рисунок 4.7 - Ймовірність відмови нормального закону розподілу
Рисунок 4.8 - Інтенсивність відмов нормального закону розподілу
Вельми гнучким для оцінки показників надійності є закон розподілу Вейбулла-Гнеденко, який має два параметри a та b (відповідно параметр масштабу та форми).
Функція розподілу Вейбулла-Гнеденко [4] використовують в якості математичної моделі відмов систем, що складаються з елементів з’єднаних послідовно з точки зору забезпечення безвідмовності системи.
Розподілення величини коефіцієнту технічного використання вагонів, величини напрацювань до незапланованих ремонтів механічного та електричного обладнання, часу простою в непланових та поточних ремонтах також добре описується цим розподілом.
Розподіл Вейбулла-Гнеденко задається наступною щільність розподілу [4]
.
(4.10)
Функція розподілу ймовірностей (функція відмови) визначається по формулі
.
(4.11)
Ймовірність безвідмовної роботи
.
(4.12)
Інтенсивність відмов
.
(4.13)
Напрацювання до першої відмови
,
(4.14)
де Г(х) – табульоване таблиця гамма-функції (таблиця В.1).
На рисунку 4.9 наведені різноманітні форми функцій щільності розподілення закону Вейбулла-Гнеденко (а), також відповідні їм графіки функцій ймовірності безвідмовної роботи (б) та інтенсивності відмов (в).
Рисунок 4.9 – Функції закону розподілу Вейбулла-Гнеденко з параметрами: 1 – b = 4, a = 1; 2 - b = 3, a = 1; 3 - b = 3, a = 1; 4 - b = 1, a = 1; 5 - b = 0,5, a = 1;
6 - b = 1,5, a = 2.
Задача 4.3.
Час простою вагонів в непланових ремонтах з причини несправності редуктора від середньої частини вісі підкорюється закону розподілу Вейбулла-Гнеденка з параметрами форми і масштабу відповідно а = 2 та b = 46. Необхідно визначити ймовірність виходу вагонів з непланових ремонтів після 24 годин простою та час простою, протягом котрого його працездатність відновиться до ймовірності 0,95.
Розв'язання
Імовірність відновлення працездатності вагона після простою протягом доби визначають по формулі (4.11).
.
Для визначення часу відновлення працездатності вагону до заданої величини довірчої ймовірності також використовують вираз (4.10)
,
,
,
,
х = 79,5 год. ≈ 3,3 доби.
Таким чином, при існуючій системі організації ремонту працездатність вагона відновиться не раніше, ніж через три доби.
У логарифмічно-нормальному розподілі логарифм випадкової величини підкорюється нормальному розподілу з щільністю
.
(4.15)
На рисунку 4.10 наведені графіки функцій щільності розподілення (а), ймовірності безвідмовної роботи (б) та інтенсивності відмов (в) логарифмічно-нормального закону розподілу [4] з різноманітними параметрами.
Логарифмічно-нормальний закон розподілу найчастіше використовують при аналізі поступових відмов у результаті порушення міцності та пониження втомної довговічності під впливом змінних навантажень та вібрацій. Наприклад, відмови елементів механічної частини вагону (напрацювання підшипників кочення, колісних пар, бокових рам візків і т.п.), систем автоматики та електронних систем керування.
Задача 4.4
Напрацювання осі колісної пари до відмови підкорюється логарифмічно-нормальному розподілу з параметрами ln тt = 12,4; σln t = 1,6. Визначити імовірність безвідмовної роботи осі та інтенсивність відмов при t = 100 тис. км.
Рисунок 4.10 – Функції логарифмічно-нормального закону розподілу:
1 - ln тt = 0; σln t = 0,5; 2 - ln тt = 0; σln t = 1; 3 - ln тt = 1; σln t = 0,5.
Розв'язання
Імовірність відмови визначаємо по формулі
.
(4.16)
.
Ймовірність безвідмовної роботи відповідно (3.7) дорівнює
.
Інтенсивність відмов розрахуємо по формулі
.
(4.12)
1/км.