6.Динамика точки:

Законы Ньютона-Галилея:

Динамика точки основана на четырёх законах.

1.Закон инерции. Если на точку действует система сил, эквивалентная нулю, то точка движется прямолинейно, равномерно или находится в состоянии покоя.

2.Основной закон. При действии на точку силы, точка испытывает ускорение, пропорциональное действующей силе.

3.Закон равенства, сил действия и противодействия. Две точки взаимодействуют между собой силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

4.Закон о независимости действия сил. При действии на точку системы сил, каждая сила действует независимо от других. Результатом действия системы сил является суммарное ускорение.

F = mā

mā = ∑ F_i = R (1), где R – равнодействующая

ā = ∑ ā_i

Единственное доказательство этих законов – опыт.

Дифференциальное уравнение движения материальной точки:

Согласно закону равенства действия и противодействия, сила, с которой материальная точка действует на тело, осуществляющее связь, равна по модулю и прямо противоположна по направлению реакции этой связи.

На основании второго и четвертого законов динамики имеем:

(1)

где m — масса материальной точки; w - ее ускорение и F - равно действующая всех сил, приложенных к этой точке, включая (в случае несвободной точки) и реакции связей.

В Международной системе единиц масса измеряется в  граммах, а сила — в ньютонах (н). Обычно массу тела находят как отношение его веса P, выраженного в ньютонах, к ускорению силы тяжести g, т. е.

(2)

Проектируя векторное равенство (1) на оси той или иной системы координат, получаем дифференциальные уравнения движения материальной точки в этой системе.

В прямоугольной системе декартовых координат имеем:

(3)

где х, у, z - координаты точки, а X, Y, Z — проекции действующей силы (равнодействующей) на соответствующие оси. В случае несвободной точки к этим уравнениям присоединяются уравнения связей. Если точка движется прямолинейно, то, принимая эту прямую за ось х, имеем:

(4)

В системе естественных осей имеем:

(5)

v - скорость точки;

p— радиус кривизны траектории;

Fτ,Fn,Fb - проекции действующей силы соответственно на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории.

Уравнения (5) называются эйлеровыми или естественными уравнениями движения материальной точки.

Пользуясь уравнениями (1) и (3), можно решать две основные задачи динамики точки.

Две основные задачи динамики точки:

Первая задача динамики точки.

Зная закон движения точки найти действующую на точку силу.

Если заданы уравнения точки в координатной форме

X=f1(t), y=f2(t), z=f3(t)

Или в естественной форме

S=f (t)

То путем дифференцирования можно найти составляющие ускорения точки, а затем, используя второй закон динамики, определить действующую на точку силу.

Вторая задача динамики точки.

Зная приложенные к точке силы определить закон движения точки

Вторую задачу динамики рекомендуется решать в следующем порядке:

1. Выбрать систему координат

2. Записать начальные условия движения точки;

3. Изобразить на рисунке точку, смещенную относительно начала координат;

4. Изобразить на рисунке приложенные к точке силы

5. Составить дифференциальные уравнения движения точки

6. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений

7. Определить постоянные интегрирования через начальные условия и определить искомые величины.

Наиболее сложным этапом решения задачи является шестой пункт. Так как силы , действующие на точку, могут быть постоянными, зависящими от времени, скорости или координаты, то дифференциальные уравнения следует преобразовать к уравнениям с разделенными переменными.