1.1. Температурное поле в твёрдом теле

Температурным полем называется совокупность мгновенных значений температур во всех точках изучаемого тела. Аналитическое описание объёмного (трёхмерного) температурного поля может быть представлено в виде

(1.1)

где – пространственные координаты, – время.

Различают стационарные и нестационарные температурные поля. Выражение (1.1) – математическое описание нестационарного трёхмерного поля.

Стационарным полем называется такое поле, у которого температура в любой точке поля не зависит от времени . Признаком стационарности температурного поля является равенство нулю производной от по :

.

Уравнение стационарного трёхмерного температурного поля имеет вид

(1.2)

В выражении (1.1) температура является функцией от трёх координат. Однако на практике встречаются случаи, когда изменение температуры по одной из осей координат, например, по оси z столь незначительно, что им можно пренебречь, положив . Тогда выражения

. (1.3)

являются математическим описанием двумерного (плоского) поля.

Иногда можно пренебречь изменением температуры вдоль двух осей координат (например, oz и oy) по сравнению с изменением температуры по третьей координатной оси. Тогда мы получаем аналитическое описание одномерного температурного поля

(1.4)

Изотермические поверхности. Градиент температуры. Плотность теплового потока.

Изотермы обычно используют для наглядного изображения температурных полей в различных твёрдых телах.

Изотермические поверхности – такие поверхности, все точки которых имеют одинаковую температуру. Наибольшее изменение температуры имеет место в направлении нормали к изотермам.

Градиентом температуры называется вектор, направленный по нормали к изотермам в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению:

, (1.5)

где – единичный вектор, направленный по нормали к изотерме.

Опыт показывает, что передача тепла путём теплопроводности происходит от одной изотермической поверхности к другой в сторону понижения температуры.

Если обозначить − количество теплоты, то выражение называется тепловым потоком.

Тепловым потоком называется количество теплоты, поступившее через изотермическую поверхность F за единицу времени.

Плотность теплового потока – количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности

(1.6)

Плотность теплового потока есть вектор, направленный по нормали к изотерме в сторону уменьшения температуры.