Решение

Найдем множества истинности данных предикатов:

; ; .

Видим, что . Учтем этот факт при изображении данных множеств с помощью кругов Эйлера-Венна.

а) Найдем область истинности предиката .

б) Для построения области истинности предиката упростим его: .

Тогда

Области истинности предикатов и показаны на рисунках штриховкой.

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Теоретические вопросы

1. Виды матриц. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение матриц.

2. Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.

3. Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица.

4. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера.

5. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

6. Векторы. Линейные операции над ними.

7. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

8. Векторное произведение двух векторов и его свойства.

9. Смешанное произведение трёх векторов и его свойства.

10. Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых.

11. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей, прямой и плоскости в пространстве.

Литература

1. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1курс. М.: Айрис-пресс, 2004.– 576с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по математике. Ч.1. М.: Айрис-пресс, 2004.– 288с.

3. Турецкий, В.Я. Математика и информатика. – М: ИНФРА-М, 2005. – 560с.

4. Высшая математика: метод. указания и контрольные задания для студентов заочного отделения.Ч.1/авт.сост. О.Н.Барсов; НовГУ имени Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2009.– 75с.

Задачи для контрольных работ

Контрольная работа 1

Элементы теории множеств и математической логики:

Задание 1. Даны множества и . Изобразить и записать с указанием характеристического свойства результат каждой операции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Задание 2. На диаграммах Эйлера-Венна изобразить результат операций, предварительно указав порядок действий в формуле.

1. 2. . 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Задание 3. Упростить выражения, используя законы алгебры множеств. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Задание 4. Упростить формулы логики двумя способами: а) используя таблицы истинности; б) с помощью равносильных преобразований.

1.а) ; б) .

2. а) ; б) .

3.а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б) .

8. а) ; б) .

9. а) ; б) .

10. а) ; б) .

Задание 5. На множестве заданы предикаты: – « – чётное число», – « делится нацело на 3», – « – число простое», – « не делится на 5». Найти и изобразить при помощи диаграмм Эйлера-Венна множества истинности предикатов , , , и следующих сложных предикатов:

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

Задание 6. На множестве бинарное отношение задано характеристическим свойством. Представить отношение другими возможными способами. Выяснить какими свойствами оно обладает.

1.	– чётное;
2.	;
3.	делится на 2;
4.	;
5.	делится на 3;
6.
7.	;
8.	делится на 3;
9.	;
10.	;

Контрольная работа 2

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Задание 1. Найти значение матричного многочлена на .

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

Задание 2. Решить систему линейных уравнений двумя способами: 1) с помощью формул Крамера; 2) средствами матричного исчисления.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Задание 3. Даны векторы Найти: 1) линейную комбинацию векторов; 2) скалярное произведение и ; 3) угол между векторами и ; 4) площадь параллелограмма, построенного на векторах и ; 5) объём параллелепипеда, построенного на векторах

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

Задание 4. Даны вершины треугольника Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнение прямой ; 3) уравнение медианы ; 4) уравнение высоты ; 5) площадь треугольника ; 6) длину высоты ; 7) уравнение окружности, для которой высота является диаметром.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Задание 5. Даны точки и . Доказать, что они не лежат в одной плоскости. Найти: 1) уравнение плоскости ; 2) уравнение плоскости, параллельной и проходящей через точку ; 3) уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной ; 4) длину высоты, опущенной из на грань ; 5) объём пирамиды .

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.