- •1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
- •2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •1. Проверка критерия оптимальности.
- •4. Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
1/21 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1/7 |
-4/21 |
0 |
x2 |
1/5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-2/5 |
0 |
1/5 |
x4 |
6/35 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-17/35 |
-12/7 |
3/5 |
x1 |
4/105 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4/35 |
1/21 |
-1/5 |
F(X3) |
2/7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/7 |
-1/7 |
0 |
В базисном столбце все элементы положительные.
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
1/21 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1/7 |
-4/21 |
0 |
x2 |
1/5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-2/5 |
0 |
1/5 |
x4 |
6/35 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-17/35 |
-12/7 |
3/5 |
x1 |
4/105 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4/35 |
1/21 |
-1/5 |
F(X1) |
2/7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/7 |
-1/7 |
0 |
Оптимальный план можно записать так:
x3 = 1/21
x2 = 1/5
x1 = 4/105
F(X) = 1•1/21 + 1•1/5 + 1•4/105 = 2/7
Составим двойственную задачу к прямой задаче.
y1 + 4y2 + 3y3 + 8y4≤1
4y1 + 4y2 + 3y3 + 3y4≤1
7y1 + y2 + 6y3 + 2y4≤1
y1 + y2 + y3 + y4 → max
y1 ≥ 0
y2 ≥ 0
y3 ≥ 0
y4 ≥ 0
Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.
Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1.
Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.
Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:
Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.
Тогда Y = C*A-1 =
Оптимальный план двойственной задачи равен:
y1 = 0
y2 = 1/7
y3 = 1/7
y4 = 0
Z(Y) = 1*0+1*1/7+1*1/7+1*0 = 2/7
Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.
Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:
pi = g*xi; qi = g*yi.
Цена игры: g = 1 : 2/7 = 31/2
p1 = 31/2 • 4/105 = 2/15
p2 = 31/2 • 1/5 = 7/10
p3 = 31/2 • 1/21 = 1/6
Оптимальная смешанная стратегия игрока I:
P = (2/15; 7/10; 1/6)
q1 = 31/2 • 0 = 0
q2 = 31/2 • 1/7 = 1/2
q3 = 31/2 • 1/7 = 1/2
q4 = 31/2 • 0 = 0
Оптимальная смешанная стратегия игрока II:
Q = (0; 1/2; 1/2; 0)
Цена игры: v=31/2