Сведение к задаче линейного программирования.

Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.

1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	B3	B4	a = min(Ai)
A1	1	4	3	8	1
A2	4	4	3	3	3
A3	7	1	6	2	1
b = max(Bi)	7	4	6	8

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₂.

Верхняя цена игры b = min(b_j) = 4.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 3 ≤ y ≤ 4. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.

Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.

Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если a_ij ≥ a_kj для всех j Э N и хотя бы для одного j a_ij > a_kj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.

Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M a_ij ≤ a_il и хотя бы для одного i a_ij < a_il. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.

В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.

В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:

найти минимум функции F(x) при ограничениях:

x₁+4x₂+7x₃ ≥ 1

4x₁+4x₂+x₃ ≥ 1

3x₁+3x₂+6x₃ ≥ 1

8x₁+3x₂+2x₃ ≥ 1

F(x) = x₁+x₂+x₃ → min

найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:

y₁+4y₂+3y₃+8y₄ ≤ 1

4y₁+4y₂+3y₃+3y₄ ≤ 1

7y₁+y₂+6y₃+2y₄ ≤ 1

Ф(y) = y₁+y₂+y₃+y₄ → max

Решаем эти системы симплексным методом.

Решим прямую задачу линейного программирования двойственным симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).

Определим минимальное значение целевой функции F(X) = x₁ + x₂ + x₃ при следующих условиях-ограничений.

- x₁ - 4x₂ - 7x₃≤-1

- 4x₁ - 4x₂ - x₃≤-1

- 3x₁ - 3x₂ - 6x₃≤-1

- 8x₁ - 3x₂ - 2x₃≤-1

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₇.

-1x₁-4x₂-7x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ = -1

-4x₁-4x₂-1x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ + 0x₇ = -1

-3x₁-3x₂-6x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ = -1

-8x₁-3x₂-2x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 1x₇ = -1

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

-1	-4	-7	1	0	0	0
-4	-4	-1	0	1	0	0
-3	-3	-6	0	0	1	0
-8	-3	-2	0	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x₄, x₅, x₆, x₇,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,-1,-1,-1,-1)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x4	-1	-1	-4	-7	1	0	0	0
x5	-1	-4	-4	-1	0	1	0	0
x6	-1	-3	-3	-6	0	0	1	0
x7	-1	-8	-3	-2	0	0	0	1
F(X0)	0	-1	-1	-1	0	0	0	0

1. Проверка критерия оптимальности.

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x₄ следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение θ соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную x₃ необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-7).

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x4	-1	-1	-4	-7	1	0	0	0
x5	-1	-4	-4	-1	0	1	0	0
x6	-1	-3	-3	-6	0	0	1	0
x7	-1	-8	-3	-2	0	0	0	1
F(X0)	0	-1	-1	-1	0	0	0	0
θ	0	-1 : (-1) = 1	-1 : (-4) = 1/4	-1 : (-7) = 1/7	-	-	-	-