2. Определения и виды вероятности

Априорная вероятность

Безусловная, или априорная, вероятность, связанная с высказыванием а, представляет собой степень уверенности, относящуюся к этому высказыванию в отсутствии любой другой информации; она записывается как Р(а). Например, если априорная вероятность того, что студент учится плохо по предмету СИИ равна 0,1, то можно записать следующее:

Р(студент учится плохо по предмету Р = истина) = 0.1

Важно помнить, что вероятность Р (а) может использоваться, только если нет другой информации. Как только становится известной какая-то новая информация, мы должны проводить рассуждения с условной вероятностью высказывания а, в которой учитывается эта новая информация.

Иногда приходится вести речь о вероятностях всех возможных значений случайной переменной. В этом случае используется такое выражение, как Р ( Погоды), которое обозначает вектор значений для вероятностей каждого отдельного состояния погоды. Таким образом, вместо того, чтобы записывать следующие четыре уравнения:

Р(Погода= солнечная) = 0,7

Р(Погода= дождливая) = 0,2

Р(Погода = снежная) = 0,1

можно просто применить такую запись:

Р(Погода) =(0.7; 0,2; 0,1)

В этом выражении определено распределение априорных вероятностей для случайной переменной Погода.

Кроме того, такие выражения, как Р (Погода, Студент учится плохо по предмету СИИ), могут использоваться для обозначения вероятностей всех комбинаций значений множества случайных переменных. В этом случае выражение Р(Погода, Студент учится плохо по предмету СИИ) можно представить с помощью таблицы вероятностей с размерами 3х2. Такая таблица называется совместным распределением вероятностей переменных Погода и Студент учится плохо по предмету СИИ.

Иногда возникает необходимость рассматривать полное множество случайных переменных, используемых для описания мира. Совместное распределение вероятностей, которое охватывает указанное полное множество, называется полным совместным распределением вероятностей. Например, если мир состоит только из переменных Студент учится плохо по предмету СИИ, Он пропустил много занятий по предмету СИИ и Погода, то полное совместное распределение определяется следующим выражением:

Р( Студент учится плохо по предмету СИИ, Он пропустил много занятий по предмету СИИ, Погода)

Это совместное распределение может быть представлено в виде таблицы с размерами 2х2х3, имеющей 12 элементов. Полное совместное распределение вероятностей задает вероятность каждого атомарного события и поэтому представляет собой полную спецификацию неопределенности знаний о рассматриваемом мире. С помощью полного совместного распределения можно получить ответ на любой запрос, касающийся вероятностных знаний.

Для непрерывных переменных возможность записать все распределения в виде таблицы просто исключена, поскольку количество значений бесконечно велико. Вместо этого обычно определяется вероятность, которую принимает случайная переменная при некотором значении х, в виде параметризованной функции от х. Например, допустим, что случайная переменная Х обозначает прогноз максимальной температуры воздуха на завтра в Москве. В таком случае следующее высказывание:

Р(Х= х) =U [18,26] (х) выражает уверенность в том, что значение Х распределено равномерно между 18 и 26 градусами Цельсия. Вероятностные распределения для непрерывных переменных называются функциями плотности вероятностей.

Условная вероятность

После того как становится известно определенное свидетельство, касающееся ранее неизвестных случайных переменных, составляющих рассматриваемую проблемную область, априорные вероятности становятся больше не применимыми. Вместо этого должны использоваться условные, или апостериорные вероятности. При этом используется обозначение Р(аb) , где а и b — любые высказывания. Это обозначение читается как “вероятность а, при условии, что все, что нам известно, — это b”. Например, следующее выражение:

Р( Студент учится плохо по предмету СИИ  Он пропустил много занятий по предмету СИИ) = 0.8 показывает, что если наблюдается студент, который пропустил много занятий по предмету СИИ, и еще не получена какая-либо иная информация, то вероятность, что этот студент учится плохо по предмету СИИ составляет 0,8. Априорная вероятность, такая как Р( Студент учится плохо по предмету СИИ), может рассматриваться как частный случай условной вероятности, Р( Студент учится плохо по предмету СИИ ) , где условием вероятности является отсутствие свидетельства.

Условные вероятности могут быть определены в терминах безусловных вероятностей. Таким определяющим уравнением является следующее, которое остается истинным, если Р(b) > 0:

Р(аb) = Р(а b) (1) Р(b)

Это уравнение может быть также записано следующим образом и в таком виде называется правилом произведения: Р(а b) = Р(аb))* Р(b)

По-видимому, правило произведения запомнить проще; оно основано на таком факте: для того чтобы а и b были истинными, необходимо, чтобы b было истинным, также необходимо , чтобы а было истинным, если дано b. Такое же утверждение можно выразить иначе: Р(а b) = Р(bа))* Р(а)

В некоторых случаях проще формировать рассуждения в терминах априорных вероятностей конъюнкций, но чаще всего мы в качестве своего основного инструмента для вероятностного логического вывода будем использовать условные вероятности.

Кроме того, для условных распределений может использоваться обозначение P. Выражение P (Х У) задает значения выражения Р (Х=х_i  У=у_j) для каждой возможной комбинации i, j.

Было бы соблазнительно, но неправильно рассматривать условные вероятности логические следствия с оценкой неопределенности. Например, высказывание Р(аb)=0.8 нельзя интерпретировать в том смысле, что “если b истинно, из этого следует вывод, что вероятность Р(а) равна 0,8”. Такая интерпретация была бы неправильной в двух отношениях: во-первых, Р(а) всегда обозначает априорную вероятность а, но не апостериорную вероятность, полученную с учетом некоторого свидетельства; во-вторых, само утверждение Р(аb) = 0,8 непосредственно относится к делу, только если b — единственное доступное свидетельство. Как только становится доступной дополнительная информация с, степень уверенности в истинности а становится равной Р(аb  с), а это значение может быть почти не связанным со значением Р(аb).

Например, в высказывании с может быть непосредственно указано, является ли а истинным или ложным. Если учебная часть обнаруживает, что студент учится плохо по предмету СИИ и он пропустил много занятий по предмету СИИ, то она получает дополнительное свидетельство с и составляет логический вывод (тривиальный), Р( Студент учится плохо по предмету СИИ  Он пропустил много занятий по предмету СИИ Студент учится плохо по предмету СИИ) = 1