4. Расчёт на прочность при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение и коэффициент запаса.
При проектировании элемента конструкции необходимо определить размеры, обеспечивающие его безопасную работу при заданных нагрузках. Для успешного решения этой задачи необходимо исходить из того, чтобы наибольшее расчётное напряжение в поперечном сечении элемента конструкции, возникшее при заданной нагрузке, было меньше того предельного напряжения, при котором возникает опасность появления пластической деформации или опасность разрушения.
Отношение предельного напряжения
к расчётному
называется коэффициентом запаса
прочности s:
.
При расчёте элемента конструкции коэффициент запаса прочности задаётся заранее и называется нормативным или требуемым и обозначается [s].
Прочность элемента конструкции обеспечивается, если действительный коэффициент запаса прочности не ниже требуемого т.е.
s>=[s]
Это неравенство выражает условие прочности элемента конструкции.
Разделив предельное напряжение на
нормальный коэффициент запаса, получим
допускаемое напряжение
:
Тогда условие прочности можно выразить неравенством
т.е. прочность элемента конструкции обеспечивается, если наибольшее напряжение, возникающее в нём, не превышает допускаемого.
5. Потенциальная энергия упругой деформации
Для решения сложных задач расчета на прочность успешно применяется энергетический подход, в основе которого лежит определение работы внешних и внутренних сил, определение потенциальной энергии упругой деформации.
Рассмотрим один подход к определению потенциальной энергии упругой деформации.
Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:
А = U + K
При действии статических нагрузок (или если сила прикладывается достаточно медленно, т. е. ее скорость приложения стремится к нулю) К = 0, следовательно,
А = U
Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела производится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом. То есть, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется, например, в заводных пружинах часовых механизмов, в луке и т.д. Для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим простейший случай — растяжение стержня.
На
рисунке изображен растягиваемый
силой F стержень,
удлинение которого соответствует
отрезку Δl,
а ниже показан график изменения величины
удлинения стержня Δl в
зависимости от силы F. В соответствии
с законом
Гукаэтот
график носит линейный характер (стержень
растягивается в пределах упругих
деформаций).
Пусть некоторому значению силы F соответствует удлинение стержня Δl. Дадим некоторое приращение силеdF. Соответствующее приращение удлинения составит d (Δl ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:
dA = (F + dF)·d (Δl ) = F·d (Δl ) + dF· d (Δl )
вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда
dA = F·d (Δl)
Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка - перемещение”, работа внешней силы F на перемещении Δl будет равна площади треугольника ОСВ
A = U = 1/2·F·Δl
Для однородного стержня с постоянным поперечным сечением и при F = const, зная из закона Гука что Δl = FL/EA(здесь и далее_A_ – площадь сечения), получим:
U=21F
l=21FFLEA=2EAF2L
Здесь U – потенциальная энергия упругой деформации F – нагрузка E – Модуль Юнга L – длина A – площадь сечения
Для оценки энергоемкости материала используют удельную потенциальную энергию, накапливаемую в единице объема: u= U/V, где V— объем стержня (V=L·A). Зная, что σ=F/A= Eε, для стержня (напряжения σ и деформации ε распределены по объему тела V равномерно) можем записать
u=VU=2EAF2L1LA=
22E=2
Потенциальную энергию упругой деформации можем выразить через удельную потенциальную энергию:
U=
VudV
