Вопросы и задания для самопроверки

1. Объекты, из которых образовано множество: а)компоненты, б)элементы, в)набор, г)часть. 2.Множество, которое не содержит ни одного элемента: а)конечное, б)бесконечное, в)пустое, г)одноэлементное.

3. Установи соответствие между способами задания множеств и множествами:

1)Перечисление элементов множества	а)В=х  хN, х 5
2)Задание характеристического свой ства	б)А=5,7,9,11
	в)Множество букв в слове "класс"

4.Даны множества А=,,,,и В=. Какие утверждения являются верными а) В собственное подмножество множества А, б) В несобственное подмножество множества А, в) В универсальное множество, г) А универсальное множество.

5.Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В:

а) пересечение, б)дополнение, в) разность, г)объединение.

6. Пересечение множеств обозначается так: а) , б) , в), г)\.

7. Будет ли из того, что хА и хВ следовать, что хАВ: а) да, б) нет, г) не знаю.

7. Будет ли из того, что хА следовать, что хАВ: а) да, б) нет, г) не знаю.

9. В Найдите пересечение множества А - множества букв в слове "язык" и - множества букв в слове " молоко": а)я,з,ы,к,м,о,л, б)я,з,ы, в)м,о,л, г)к.

10.Изобразите на кругах Эйлера Х \ (УZ).

11. Найдите объединение множества А - множества букв в слове "язык" и В- множества букв в слове " молоко": а)я,з,ы,к,м,о,л, б)я,з,ы, в)м,о,л, г)к.

12. Найдите разность множества А - множества букв в слове "язык" и В - множества букв в слове " молоко": а)я,з,ы,к,м,о,л, б)я,з,ы, в)м,о,л, г)к.

13. Пусть А=1,2,3 и В=4,5. Составьте декартово произведение множеств А и В: а) А х В=(1,4);(1,5);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5);

б) А х В=(4,1);(5,1);(4,2);(5,2);(4,3);(5,3) ; в) А х В=(1,4);(2,5);(3,4);(3,5); г) А х В=(1,4);(1,5);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5);(1,2).

14. Пусть А - множество двузначных чисел, кратных 16, В- множество всех цифр. Постройте граф и график соответствия R, заданного предложением "число х оканчивается цифрой у", где хА, уВ. Будет ли данное соответствие взаимно однозначным

3. Числа и вычисления

3.1Натуральное число и нуль

Теоретические основы формирования элементарных представлений у дошкольников включают детальное изучение лишь системы натуральных чисел. Понятие натурального числа является одним из основных понятий математики. Возникло оно из потребностей практической деятельности людей и в своем развитии прошло ряд этапов пока, в 1891 году, итальянский математик и логик Джузеппе Пеано аксиоматически не обосновал теорию натуральных чисел.

Натуральными числами называют элементы всякого непустого множества N, в котором существует отношение "следовать за", удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Существует элемент 1 не следующий ни за каким элементом. 2. Для любого элемента а существует единственный следующий за ним элемент а'. 3. Любой элемент а' следует не более, чем за одним элементом а. 4. Аксиома индукции. Пусть любое подмножество М множества N обладает свойствами: 1) 1М; 2) если аМ, то и а+1М, тогда М содержит все натуральные числа, т.е. множество натуральных чисел N совпадает с множеством М. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития ряд чисел: один, два, три, четыре и т.д. С помощью символов натуральный ряд записывается так: 1, 2, 3, 4, и т.д. Ряд натуральных чисел обладает следующими свойствами: - в нем есть наименьшее число, т.е. аN, 1N, 1<а;

- натуральный ряд чисел бесконечен, т.е. в нем можно выделить собственное подмножество, равномощное данному множеству; - натуральный ряд чисел линейно упорядочен; - натуральный ряд чисел дискретен, т.е. для аN не существует такого натурального числа n, что а<n<а+1. На практике приходится иметь дело не со всем рядом натуральных чисел, а с его частями, которые называются отрезками натурального ряда чисел.

Отрезком натурального ряда Nа называют множество чисел натурального ряда, не превосходящих натурального числа а. Например, N7=1,2,3,4,6,7, N3=1,2,3. Счетом элементов конечного множества А называют установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества А и отрезком натурального ряда Nа. Причем а называют числом элементов множества А и пишут n(А)=а. Это число единственное и его называют количественным натуральным числом. Таким образом, натуральное число можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества. Но в процессе счета не только находят число элементов множества, но и упорядочивают его. Элемент, которому соответствует число 1- первый, элемент, которому соответствует число 2- второй и т.д., то есть используют порядковые натуральные числа.

Значит, натуральное число кроме основной функции- характеристики количества предметов несет еще другую функцию- характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Количественные и порядковые числа тесно связаны. В частности, при счете элементы конечного множества А расставляются в определенном порядке, последовательности:- первый, - второй, - третий, - четвертый, т.е. используются порядковые числа, и устанавливается, сколько элементов содержит множество А=,,,, т.е. используют количественные натуральные числа ( в множестве А содержится 4 элемента). Рассмотрим всевозможные конечные множества ( говорят класс или семейство множеств) и установим для них отношение равномощности следующим образом: два множества А и В называются равномощными ( эквивалентными), если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие ( обозначают так АВ).

Установленное таким образом отношение множеств является отношением эквивалентности, т.к. рефлексивно, симметрично, транзитивно: для любых множеств А, В, С: а) А А; б) если А В, то ВА, в) АВ и ВС, то АС.

Поэтому введенное отношение порождает разбиение данного семейства на классы эквивалентности так, что любые два множества одного класса равномощны, любые два множества различных классов не равномощны. Классы равномощности не совпадают полностью всеми свойствами: множество пальцев человеческой руки и множество, состоящее из пяти столов, различные, но равномощные множества. Так как мы имеем дело с конечными множествами, то равномощность означает равночисленность. Количественное натуральное число, с теоретико-множественных позиций, является общим свойством класса конечных равномощных множеств. Объединение множества натуральных чисел и числа нуль образует множество целых неотрицательных чисел. Нуль, с теоретико- множественной позиции, является общим свойством класса пустых множеств. Числа а и в равны, если они определяются равномощными множествами, т.е.: а=в А=В, где n(А)=а, n(В)=в.

Число а<в тогда и только тогда, когда отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка натурального ряда Nв, т.е.: ав  Nа  Nв и NаNв.

Суммой двух целых неотрицательных чисел а и в называют число элементов в объединении непересекающихся множеств А и В таких, что n(А)=а, n(В)=в и А В=.

Разностью двух целых неотрицательных чисел а и в называют число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n(А)=а, n(в)=В и В  А.