Методические указания по темам программы

1. Математические понятия, предложения,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

"Мышление - необходимая предпосылка всякой другой деятельности, ибо любая деятельность, в конечном счете, есть свернутый и переработанный итог" (Я. А. Пономарев). Понятие "мышление человека" очень многогранно и процесс мышления изучается разными науками, которые устанавливают его общие закономерности. Специфика содержания и методов математики накладывает на них некоторые особенности. Познание человеком окружающего мира осуществляется в двух формах: в форме чувственного познания и абстрактного мышления. Путем чувственного отражения мы познаем отдельные предметы и их свойства, законы же мира, сущность предметов, общее между предметами и явлениями мы познаем посредством абстрактного мышления, которое существует в трех формах: понятия, суждения, умозаключения.

Понятие - форма мышления, в которой фиксируются существенные признаки предмета (объекта) или класса однородных предметов (объектов). Понятия в языке выражаются отдельными словами ("число", "фигура", "больше") или словосочетаниями ("большой треугольник", "столько же сколько...", "короче, чем ...").

Всякое понятие имеет содержание и объем. Содержанием понятия называется совокупность всех существенных признаков объекта. Например, содержанием понятия "квадрат" являются следующие признаки: "быть четырехугольником", "все углы равны", "диагонали равны", "диагонали точкой пересечения делятся пополам", "все стороны равны", "диагональ делит на два равных треугольника" и т. д.

Объем понятия - это совокупность всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Например, в объем понятия "параллелограмм" входят: прямоугольник, квадрат, ромб, параллелограмм с разными смежными сторонами и углами; а в объем понятия "квадрат" входит только один объект- "квадрат". Определение понятия (или дефиниция) есть логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Существуют следующие способы определения понятий: явные, имеющие форму равенства, совпадения двух понятий и неявные, особенность которых состоит в том, что предмет определяется не через отличительные признаки, а посредством указания на его отношение с другими предметами.

Рассмотрим явное определение понятия "квадрат". Квадрат это прямоугольник с равными сторонами. В данном определении отождествляются два понятия: определяемое - то, содержание которого раскрывается в определении (квадрат) и определяющее- то, посредством которого раскрывается смысл определяемого понятия (прямоугольник с равными сторонами). В определяющем понятии выделяется свойство более широкое, чем определяемое понятие (прямоугольник), Это родовое понятие. Второе свойство (прямоугольник с равными сторонами) позволяет выделить определяемые объекты из объема родового понятия. Это видовое отличие.

Схематическая структура таких определений имеет вид:

ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ПОНЯТИЕ

=

ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ ПОНЯТИЕ

или

ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ПОНЯТИЕ

=

РОДОВОЕ ПОНЯТИЕ

+

ВИДОВОЕ ОТЛИЧИЕ

и называется определением через род и видовое отличие. Определение, в котором предметы определяемого понятия вводятся в объем более широкого понятия (родового) и с помощью отличительных признаков (видовых отличий) выделяются среди предметов этого более широкого понятия называют определением через род и видовое отличие. Например, определение понятия "отрезок": отрезок это часть прямой, ограниченная двумя точками; сформулировано через род и видовое отличие, т. к. в нем можно выделить определяемое понятие (отрезок), определяющее понятие (часть прямой, ограниченная двумя точками), родовое понятие (часть прямой), видовое отличие (ограниченная двумя точками). Следующая форма мышления - суждения. Среди суждений, устанавливающих различные отношения между математическими понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы. Воспитателю дошкольного учреждения нужно иметь представление о них.

Высказыванием называется предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Высказывания обычно обозначают большими латинскими буквами. Например: А - "Число 20 оканчивается нулем", истинное высказывание; В- "2x2=3 ", ложное высказывание; предложение "Который час?" не является высказыванием, т. к. относительно его нельзя сказать истинно оно или ложно. Истина и ложь - значения истинности высказывания.

Над высказываниями выполняют операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, эквиваленции и др.

Отрицанием высказывания А называется высказывание А, которое истинно, если А - ложно, и ложно, если А - истинно. Отрицание А обозначается через А и читается " не А".

Таблица истинности для отрицания А имеет вид:

А	А
И	Л
Л	И

Например, А- "2x5=11 "- Л, то А - "2x511 "- И.

Конъюнкцией высказываний А и В называют высказывание А^ В, которое истинно лишь при условии, что истинны оба высказывания. Высказывание А ^ В читают "А и В ". Для него таблица истинности имеет вид:

А	В	А^В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание А V В, истинное при условии, что хотя бы одно из высказываний АVВ истинно. Его читают " А или В ".Таблица истинности такова:

А	В	АVВ
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Импликацией высказываний А и В называют высказывание А  В, ложное тогда, когда А истинно, а В ложно, и истинно во всех других случаях. Его читают " если А, то В ". Высказывание А называют условием импликации, а высказывание В - ее заключением. Таблица истинности импликации имеет вид:

А	В	АВ
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Импликацию ВА называют обратной по отношению к АВ, импликацию АВ -противоположной, а импликацию ВА - обратную противоположной.

Два высказывания, составленные из высказываний А, В, С,... с помощью знаков , V,,  называются равносильными, если они имеют одну и ту же истинность при любых предложениях об истинности предложений А, В, С,... . Договорились считать, что сильнее всех связывает знак отрицания, за ним следуют знаки конъюнкции, дизъюнкции, импликации. Например, в высказывании АВVСD сначала выполняют АВ, затем СD и последней - дизъюнкцию полученных результатов.

Высказывательной формой (предикатом) называется предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке вместо переменных их значений. В зависимости от числа переменных, входящих в предикат, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты. Их обозначают А(х), В(х,у), С(х,у,z) и т. д. . Со всяким предикатом связаны:

- область определения предиката Х, т.е. множество тех значений переменной, при которых предикат обращается в высказывание;

- множество истинности предиката Т, т.е. множество тех значений переменной из области определения, при которых предикат обращается в истинное высказывание.

Например, областью определения предиката А(х): 2х = 14 являются все действительные числа, а в множество истинности содержит только число 7, т.е. корень уравнения, т.к. при подстановке числа 7 в уравнение предикат обращается в истинное высказывание.

Над предикатами выполняются те же операции, что и над высказываниями. Из одноместного предиката можно получить высказывание, подставляя в него значение переменной или подставляя перед предикатом квантор общности или существования.

Квантор (от латинского quantum - сколько) - символ математической логики, логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в результате ее применения

Различают кванторы:

-общности, это слова любой, всякий, каждый, их обозначают ;

-существования, это слова: существует, найдется, некоторые, какой-нибудь, хотя бы для одного, их обозначают .

Приписывание перед предикатом квантора называется операцией навешивания квантора на предикат.

Например, если А(х)- предикат: " х- положительное число", определенный на множестве натуральных чисел N, то навешивая на него квантор общности х, получим истинное высказывание "Всякое натуральное число х положительно ", т.е. высказывание (хN) А(х). Навешивание квантора существования х на предикат Р(х): " х- четное число ", заданный на множестве целых чисел Z, приводит к истинному высказыванию " Существуют целые числа х, которые являются четными ", которое можно записать так: (хZ) Р(х).

Имеют место следующие равносильности: (хХ) Р(х)  ( хХ)Р(х);

( хХ)Р(х)  (хХ) Р(х) , которые можно назвать правилами построения отрицаний высказываний.

Отрицание высказывания с квантором (общности или существования) может быть построено двумя способами:

1)перед данным высказыванием ставят слова " неверно, что" 2)квантор общности (существования) заменяют квантором существования (общности), а предложение, стоящее после квантора, заменяется его отрицанием.

Например, отрицанием высказывания (хN) (1+х>0) "Для всякого натурального числа х сумма 1+х положительна " будет высказывание (хN) (1+х>0) "Существует натуральное число х для которого сумма 1+х не является положительной".

Любое рассуждение не обходится без слов " следовательно ". Говорят, что из предложения А следует предложение В, если всякий раз, когда истинно предложение А, истинно и предложение В и записывают АВ. Большинство теорем математики имеют вид логического следования. Истинность теорем доказывается путем доказательства. Доказать теорему АВ - это значит установить логическим путем, что всегда, когда выполняется свойство А, будет выполняться и свойство В.

В основе доказательства лежит рассуждение - логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение, содержащее новое знание. В любом рассуждении есть посылки и есть заключение. Между ними существует определенная связь.

Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным.

Рассмотрим три основные правила, которые лежат в основе дедуктивых рассуждений.

1. Правило заключения: (АВ и А(а) ) В(а), где АВ- общая посылка, А(а)- частная посылка, В (а)- заключение.

2. Правило отрицания: (АВ и В(а) )  А(а) . 3. Правило силлогизма: ( АВ и ВС )  ( А С). Применение этих правил гарантирует, что рассуждение будет дедуктивным.

Например, выясним, является ли рассуждение дедуктивным.

1)" Все отличники 3 класса спортсмены. Третьеклассник Володя спортом не занимается; следовательно, он не отличник". Определим схему приведенного рассуждения. Общая посылка - "Все отличники 3 класса спортсмены ", сформулируем ее в виде условного предложения. "Если ученик 3 класса отличник, то он спортсмен". Затем обозначим буквой А предложение: "Ученик 3 класса отличник", а буквой В предложение "Ученики спортсмены". Тогда общая посылка примет вид АВ; частная посылка "Третьеклассник Володя спортом не занимается "- В(а), а заключение -" Третьеклассник Володя не отличник "- А(а), т.е. имеем рассуждение по схеме:

( АВ и В(а) )  А(а).

Это правило отрицания, гарантирующее истинность заключения. Следовательно, данное рассуждение дедуктивное.

2) "Если число делится на 18, то оно делится на 6; если число делится на 6, то оно делится на 3, следовательно, если число делится на 18, то оно делится на 3". Если обозначить через А предложение " Число делится на 18 ", через В предложение " Число делится на 6 ", через С предложение " Число делится на 3 ", то посылки " Если число делится на 18, то оно делится на 6; если число делится на 6, то оно делится на 3" имеют вид: АВ, ВС, а заключение- (АС ), т.е. построено по схеме: (АВ и ВС)  (А С). Такая схема - это правило силлогизма - гарантирует при истинности посылок истинность заключения. Значит, данное рассуждение дедуктивное.

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Цель контрольной работы - проверить качество усвоения отдельных наиболее важных для воспитателя дошкольного образовательного учреждения вопросов курса математики и умения применять их на практике.

Ее проведение способствует правильной организации самостоятельной работы студентов- заочников, помогает выявить и преодолеть трудности и проблемы в знаниях. В процессе выполнения контрольной работы студент- заочник приобретает навыки самостоятельного изучения специальной литературы; углубляет теоретические знания по изученным разделам программы.

Прежде, чем приступить к выполнению контрольной работы, студент должен изучить необходимый теоретический материал.

При выполнении контрольной работы студент должен придерживаться следующих правил:

• контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради;

• указывать номер варианта;

• перед решением каждой задачи следует записать ее номер и полностью выписать ее условие;

• решения заданий и пояснения к ним следует записывать подробно, аккуратно, без сокращения слов, сопровождать, при необходимости, сносками на теорию.