4 Геометрические фигуры и величины

4.1 Понятие величины и её измерения

Потребности практической деятельности человека требовали от науки различных, но однородных физических, геометрических и прочих свойств объектов. Особые свойства реальных объектов или явлений - это величины. Например, свойство предметов иметь протяженность называется длиной; свойство предметов занимать определенное место в пространстве называется объемом; свойство предметов давить на подставку называется силой тяжести. Величина - одно из основных математических понятий, трактуется по- разному в разных литературных источниках. Величина - это свойство предметов или явлений, которое может быть больше или меньше и, которое можно точно оценить. Точная оценка величины называется измерением (Александров). Величина - общее в качественном отношении свойство многих объектов, но индивидуальное в количественном отношении. (Колмогоров А.Н.) Величина - размер, объем, протяженность предмета; то, что можно измерить, исчислить (Ожегов С.И. и Шведова Н.Ю.) Пусть - некоторое множество и в нем определены отношения эквивалентности (ав) и отношение " состоять из" (а= в  с). Говорят, что на множестве S определена величина f(а), если каждому элементу множества S можно поставить в соответствие неотрицательное число так, что выполняются следующие свойства: 1. Если элементы эквивалентны, то их величины равны (если ав, то f(а)= f(в) ). 2. Если элемент а состоит из элементов в и с, то его величина равна сумме величин в и с (если а= в  с, то f(а)= f(в) + f(c) ). 3. Некоторому элементу е множества S соответствует число 1 -это единица измерения величины (f(е)= 1).(Стойлова Л.П.) Выделенный текст считают аксиоматическим определением величины. Величины, как свойства объектов, обладают важной особенностью, их можно оценить количественно. Для этого величину надо измерить. Измерить величину f(а) это значит сравнить ее с единицей ( мерой, эталоном) величины е, в результате измерения находят такое число х, что f(а)= хе. Число х называют численным значением величины f(а) при единице е и пишут х=mе (f(а)) Например: 1)длина отрезка равна 54 см, 54- численным значением величины ( длины), 1см - единица длины; 2) масса предмета равна 13кг, 13- численным значением величины ( массы), 1кг - единица массы.

Все величины можно разделить на следующие группы:

ВЕЛИЧИНЫ

/	\
ОДНОРОДНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ	СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ

Однородными называются те величины, которые отражают одно и то же свойство объектов. Например, длина и ширина стола. Разнородными называются те величины, которые отражают различные свойства объектов. Например, масса и площадь стола. Величины, которые определяются одним численным значением называются скалярными. Например: масса, площадь, время, объем, цена и т д. Величины, которые определяются численным значением и направлением называются векторными. Например: скорость, сила, вес и т.д.

Однородные величины обладают следующими свойствами: 1. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. 2. Величины одного рода можно складывать, в результате получится величина того же рода. 3. Величину можно умножать на действительное число, в результате получится величина того же рода. 4. Величины одного рода можно вычитать. Разностью величин f(a) и f(b) называют такую величину f(c), что f(a)= f(b) + f(c).

5. Величины одного рода можно делить. Частным величин f(a) и f(b) называют такое неотрицательное действительное число х, что f(a)= хf(b). Чаще число х называют отношением величин. Измерение величин позволяет свести их сравнение к сравнению чисел, операции над величинами - к соответствующим операциям над числами. Можно сформулировать следующие правила действий над величинами: 1.Если величины f(a) и f(b) измерены при помощи единицы величины е, то отношение между величинами будет таким же, как отношение между их численными значениями, и наоборот. 2. Если величины f(a) и f(b) измерены при помощи единицы величины е, то чтобы найти численное значение суммы f(а) + f(в), достаточно сложить численные значения величин f(а) и f(в).

3. Если величины f(a) и f(b) таковы, что fв)= хf(à), где х- положительное действительное число, и величина f(a) измерена при помощи единицы величины е, то чтобы найти численное значение величины f(в) при единице е, достаточно число х умножить на численное значение величины f(a). 4. При замене единицы величины численное значение величины увеличивается (уменьшается ) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой. Например: при переводе 29 см в единицы в 10 раз большие- дециметры, численное значение длины уменьшается в 10 раз и становится 2,9 дм, 29см=2,9дм; при переводе 29см в единицы в 10 раз меньшие- миллиметры, численное значение длины увеличивается в 10 раз и становится 290 мм, 29см=290мм. Программа по элементарной математике для ДОУ предполагает, что дошкольники получат первые представления о длине, площади, емкости, массе, поэтому воспитателям ДОУ необходимо знать их определения. Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков; 3) существует отрезок единичной длины.

Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура состоит из конечного числа фигур, не имеющих общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур; 3) существует фигура единичной площади. Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Объемом тела называется положительная величина, определенная для каждого геометрического тела так, что: 1) равные тела имеют равные объемы; 2) если тело состоит из конечного числа геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел; 3) существует геометрическое тело единичного объема.

Масса - это положительная величина, которая обладает свойствами: 1) масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах; 2) масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, вместе взятых, равна сумме их масс; 3) существует тело единичной массы.