3.3. Электрическое поле системы двух точечных зарядов

П ример 3.1. В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной расположены точечные заряды и .

Найти модуль напряженности электрического поля в третьей вершине треугольника?

Решение: Каждый заряд в третьей вершине треугольника создает поле напряженностью и , векторы которых показаны на рис. 6. По принципу суперпозиции полей напряженность результирующего поля . Модуль вектора можно определить, используя теорему косинусов для треугольника, состоящего из векторов , и

^. Поскольку , а , , то

Ответ:

Пример 3.2. Электростатическое поле на оси диполя.

Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов и , расположенных на расстоянии друг от друга, которое значительно меньше расстояния от середины диполя до точки, в которой вычисляется поле системы. Прямая линия, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

Вычислить электрическое поле в точке М, лежащий на оси диполя, на расстоянии r от его середины (Рис.7).

Р ешение: Поле в точке М – это поле двух точечных зарядов, следовательно, . Направлен вектор по оси диполя и модуль его равен , где , - расстояние от середины диполя до точки поля. Тогда, учитывая, что , получим . (3.5)

Ответ: .

Пример 3.3. Вычислить электрическое поле в точке , лежащей на перпендикуляре к оси диполя и проходящем через его середину.

Р ешение: Напряженность поля в точке М равна векторной сумме напряженностей электрических полей двух точечных зарядов (Рис.8).

Модуль вектора напряженности электрического поля диполя можно определить из подобия треугольников

, то есть или .

Учитывая, что , получим . (3.6)

Сравнивая результаты, полученные в примерах (3.2) и (3.3), уравнения (3.5) и (3.6) видим, что величина напряженности поля диполя убывает с расстоянием от центра диполя как , т.е. быстрее, чем напряженность поля точечного заряда. Напряженность поля диполя оказывается пропорциональной величине . Если - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, то (Рис.9).

Рис.9

Вектор – характеристика диполя, называется электрическим моментом или моментом диполя, дипольным моментом.

Тогда напряженность электрического поля на оси диполя и на перпендикуляре к середине оси диполя можно соответственно определить по формулам:

, (3.5) и . (3.6)

Ответ: , .

Пример 3.4. Вычислить электрическое поле диполя в точке L, положение которой определяется расстоянием от точки О и угла , который образует прямая OL с осью диполя (Рис.10).

Решение: Чтобы упростить решение, используем следующий прием. Вектор дипольного момента представим суммой двух векторов и линии OL. и . Каждый из этих двух диполей в точке L создает поле, определяемое формулами (3.5) и (3.6). При условии вектор можно считать направленным по линии OL (ось диполя совпадает с линией OL). Тогда напряженность поля в точке L будет (3.7)

Нетрудно видеть, что если или , то из уравнения (3.7) получаем уравнение (3.6); а если , или , получаем уравнение (3.5).

Как видим из рассмотренных примеров, электрическое поле двух связанных разноименных зарядов убывает с расстоянием быстрее, чем поле точечного заряда. Если рассмотреть системы более сложные, например, по два положительных и отрицательных заряда (квадруполь), то его поле будет обратно пропорционально расстоянию в четвертой степени, а для двух квадруполей обратно пропорционально расстоянию в пятой степени. Электрические поля зарядов, связанных в нейтральные системы – короткодействующие.

Пример 3.5. Вычислить напряженность поля, созданного заряженным кольцом, на оси кольца в точке, удаленной от центра кольца на расстояние h. Заряд кольца Q равномерно распределен по всей длине кольца, R – радиус кольца (Рис.11).

Решение: Напряженность поля в точке А можно вычислить как векторную сумму полей, созданных элементарными точечными зарядами, расположенными на малых отрезках кольца.

М ысленно разделим кольцо на множество малых элементов , на которых будет размещен заряд . Заряд можно считать точечным и напряженность поля, созданного этим зарядом в точке А будет . Результирующее поле в точке А, определится суммой векторов . Сумма двух векторов полей, созданных двумя диаметрального противоположными элементами , будет , .

Как видно из рисунка, этот вектор направлен по оси кольца (по линии, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр). Тогда будет иметь такое же направление, модуль этого вектора определим арифметической суммой векторов

, где

Тогда , т. е. (3.8)

Ответ. В центре кольца h=0 и E=0. При h>>R имеем , что совпадает с электрическим полем точечного заряда q, сосредоточенного в центре кольца.

Пример 3.6. В однородном электрическом поле напряженности находится диполь с электрическим моментом . Определить, как будет вести себя диполь в электрическом поле.

Р ешение. На электрические заряды диполя в однородном поле действуют силы . Эти силы равны по величине и направлены противоположно, поэтому образуют пару сил (Рис.12). Момент этой пары равен . Учитывая, что - момент диполя, момент сил, действующий на диполь будет .

Направлен момент этой пары по оси вращения диполя, т.е. перпендикулярно к и . Величину и направление вектора момента пары можно выразить одной формулой . (3.9)

Ответ: .

Мы видим, что в однородном электрическом поле на диполь действуют пара сил, которая стремится повернуть диполь таким образом, чтобы векторы и были параллельными, или, говорят, сориентировать диполь по полю.