3.5. Статистическая оценка показателей надежности при определительных испытаниях

По результатам определительных испытаний могут быть получены:

– точечная оценка показателей надежности (рассмотрены в 1.3);

– определение законов распределения наработки на отказ;

– интервальная оценка показателей надежности.

При определительных испытаниях для высоконадежных систем можно наблюдать очень малое количество отказов или вообще их может не быть. Точечная оценка может «прыгать», тогда её не используют, а применяют интервальное оценивание.

Фактический показатель надежности будет находиться внутри интервала между нижней и верхней границей с доверительной вероятностью 1-α:

Вер {Т_он < Т_о < Т_ов} = 1-α

Т_он = Т_о - Е₁

Т_ов = Т_о + Е₂,

где Т_о – фактическое значение средней наработки на отказ; Е₁, Е₂ – погрешности в определении Т_о (рис. 3.1).

α

2

α

2

Рис. 3.1 Интервал допустимых значений наработки на отказ

Рассмотрим формулу для расчета интегральных показателей в случае экспоненциального распределения наработки на отказ:

,

где Т_∑r – суммарная наработка на отказ в зависимости от плана, c² – значение из таблицы c² Пирсона, которое находится для числа степеней свободы К=2r и вероятностей α/2 и (1- α/2)

.

На практике, как правило, нужна только нижняя граница, тогда

, .

Показатель надежности не должен быть ниже нижней границы.

3.6. Общие принципы обеспечения контроля надежности при серийном производстве

При серийном производстве на предприятии возникает задача контроля надежности выпускаемых изделий. Контроль надежности может быть сплошным – каждое изделие подвергается испытанию на надежность. Но это очень дорогой способ. Выборочный контроль надежности – из всей партии выпускаемых изделий N берется выборка n изделий (n < N) и испытаниям подвергаются n изделий. Здесь возникают риски:

– напрасной браковки всей партии N, которая содержит в основном надежные изделия, а в выборку n случайным образом попадают все ненадежные изделия - риск поставщика – ошибка первого рода a;

– напрасной приемки всей партии N, которая содержит большое количество дефектных изделий, а в выборку n случайным образом попадает большинство надежные изделия – риск потребителя – ошибка второго рода b.

Для того, чтобы применить выборочный контроль, строится оперативная характеристика П(q) (рис 3.2), где

– доля дефективных изделий, d – дефектные изделия, N – общее количество изделий, q_кр – критическое значение для идеальной оперативной характеристики; q < q_кр – партия принимается; q > q_кр – партия бракуется. q < q1 – заведомо надежная партия; q > q2 – партию нужно забраковать; q1 < q < q2 – зона неопределенности. Требуются дополнительные исследования надежности.

идеальная характеристика

реальная характеристика

Рис. 3.2 Построение оперативной характеристики

3.7. Статистические методы контроля надёжности серийных систем

Среди планов испытаний выборочного контроля выделяют:

– планы типа однократной выборки,

– планы типа двукратной выборки,

– последовательный контроль надежности.

В планах типа однократной выборки из общего количества N выпускаемых изделий выбирается n изделий и каждое подвергается контролю на надежность. Находится число дефектных изделий среди n изделий. Число дефектных изделий в выборке n – d(n). Приемочное число с – граничное число дефектных изделий определяется на базе оперативной характеристики. Если d(n) < c, то партия принимается, а если d(n) > c – партия бракуется.

Если выполняется n ≥ 0,1,…,N, то можно принимать биноминальный закон распределения. Строится оперативная характеристика П(q), где

.

Биноминальный закон распределения:

,

где С – приёмочное число; Сn_i – число сочетаний из n по i.

В планах типа двукратной выборки из общего числа изделий N выбирается n₁ изделий (n₁ > N). Эта выборка подвергается контролю на надежность и подсчитывается число дефектных изделий в n₁. Если d(n₁) ≤ c₁, то партия принимается, d(n₁) > c₂ – партия бракуется. c₁ < d(n₁) ≤ c₂ – зона неопределенности. Берется вторая выборка n₂, такая, что (n₁ + n₂ < N) и подвергается контролю на надежность. Если d(n₁ + n₂) ≤ c₃ – партия принимается, d(n₁ + n₂) > c₃ – партия бракуется. Возможен вариант, когда c₂ = c₃.

Оперативная характеристика П(q) = Ра₁ + Ра₂, где Ра₁ и Ра₂ –несовместимые события (рис. 3.3).

Событие а₁: d(n₁) < c₁; а₂: d(n₁ + n₂) ≤ c₂; d(n₁) > c₁

Партия изделий будет принята, если наступит одно из несовместных событий:

– а₁: для первой выборки выполняется условие

– а₂: для двух последних выборок выполняются условия

,

Тогда оперативная характеристика

,

где Ра₁ – вероятность события а₁, Ра₂ – вероятность события а₂.

Ра₁ вычисляется по формуле одновыборочного контроля, а Ра₂

Рис. 3.3 Графическая иллюстрация плана двукратной выборки

При последовательном контроле надежности берется целый ряд выборок и каждый раз сравнивается с приемочными числами. Необходимо, чтобы было соблюдено условие (n₁ + n₂+…+n_i) ≤ N. Если d(n₁ + n₂+…+n_i) = d_i. Тогда возмём выборку n₁, подсчитаем d(n₁) и сравним с передаточными числами. Если d₁ ≤ c₁ – партия принимается, d₁ > c₁’ – партия бракуется. c₁ < d(n₁) ≤ c₁’ – зона неопределенности. Необходимо взять выборку n₂ и подсчитать d₂. Если d₂ ≤ c₂ – партия принимается, d₂ > c₂’ – партия бракуется. c₁ < d(n₁) < c₂’ – зона неопределенности. Берём выборку n3 и так далее…Выборка n_i. Если d_i < c_i – партия принимается, d_i > c_j’– партия бракуется;

Последовательный контроль надежности проводится по накопленному числу дефектных изделий r = 1, 2, 3,… или по суммарной наработке на отказ Т_∑r в зависимости от плана испытаний. В основе принятия решений лежит вероятность gr – отношение правдоподобия, r = 1,2,3,… которая и сравнивается с величинами риска поставщика и потребителя. Если

– продолжается испытание,

– партия принимается,

– партия бракуется.

Рассмотрим практическую методику последовательного контроля надежности по суммарной наработке на отказ Т_Sr (рис. 3.4).

– испытание продолжается,

– партия принимается,

– партия бракуется.

T_∑r

h1 + rS Продолжение

испытаний

Принимается

h2 + rS

Брак

r

Рис. 3.4 Использование последовательного контроля надёжности

,

,

Т₀₁ – средняя наработка на отказ исправной системы по ее паспортным данным, Т₀₂ – средняя наработка на отказ системы, которую считают надежной

.

Примеры решения задач

Задача №1.

Испытания изделия проводились по плану N = 250, B, r = 12, время наступления r – го отказа t_r = 425 ч.

Определить нижнюю доверительную границу вероятности безотказной работы для наработки на отказ t_i=1000 ч при доверительной вероятности 0,9.

Решение: