3.4. Определение законов распределения наработки на отказ

Важное значение имеет правильный подбор вида теоретического закона распределения случайной величины. Каждым из известных стандартных распределений, экспоненциальным, нормальным, Вейбулла и др., охватывается довольно узкий круг эмпирических распределений. Между тем эти законы хорошо изучены и с достаточной точностью описывают статистические функции распределения случайных величин различного класса.

Существуют в то же время универсальные методы выравнивания статистических рядов. Например, имеется специально разработанная система кривых Пирсона, которые зависят в общем случае от четырех параметров. При выравнивании этих кривых параметры выбираются с таким расчетом, чтобы сохранить первые четыре вида статистического распределения (математическое ожидание, дисперсию, третий и четвертый моменты). Известны также набор кривых распределения Н.А. Бородачева, функции Джонсона и другие методы.

Практика показала, что с такими функциями работать довольно сложно, а результаты выравнивания невсегда бывают положительными. Поэтому лучше выбрать некоторый круг стандартных распределений и по какому-либо критерию находить функцию, наиболее точно согласующую теоретический и статистический законы распределения.

Практически подавляющее большинство статистических распределений, можно описать одним из пяти стандартных распределений:

1. Нормальным

где х – возможное значение случайной величины Х; f(х) – функция плотности распределения; m – математическое ожидание; D – дисперсия.

2. Логарифмически-нормальным

,

где а₁, b₁ – параметры закона распределения.

3. Гамма-распределением

,

где Г(а₂) – гамма-функция а₂.

4. Распределением Вейбулла

,

5. Равномерным распределением

0 при x < b₄ и x > a₄;

1  

a₄ – b₄

при b₄ ≤ x ≤ a₄ .

Оценки математического ожидания m и дисперсии D случайной величины Х (время безотказной работы или время восстановления) вычисляются по формулам:

,

,

где х₁, х₂, …,х_i,…,х_n - совокупность n результатов наблюдений над случайной величиной Х. Оценки параметров а₁,…,а₄ и b₁,…,b₄ стандартных законов распределения вычисляют подстановкой найденных оценок и в выражение параметров теоретических распределений через математическое ожидание и дисперсию [1] (табл. 1).

Таблица 1

Закон распределения	Расчетная формула
	Для первого параметра	Для второго параметра
Логарифмически-нормальное
Гамма-распределение
Распределение Вейбулла	решить относительно параметра а3
Равномерная плотность распределения

Экспериментальная оценка надежности может быть получена по экспериментальным данным об отказах. Эта статистика может собираться в процессе эксплуатации или в результате специальных испытаний на надежность системы. Показатели надежности систем могут быть вычислены по данным об отказах элементов или систем в целом. Это наиболее полная и достоверная оценка, так как аппаратура находится в реальных условиях работы. Теоретические же методы дают приближенную оценку ожидаемого уровня надежности.

Испытания на надежность делятся на определительные и контрольные.

– определительные – испытания, в результате которых определяются фактические показатели надежности системы. Для чего необходима большая статистическая выборка по отказам.

– контрольные – испытания, на основе которых не определяются фактические значения, а проверяются статистические гипотезы и по ним принимается решение: удовлетворяет система заданным требованиям по надежности или нет.

Для проведения испытания составляются планы испытаний, в которых задаются характеристики:

– число систем, поставленных на испытание – N;

– порядок замены отказавших систем в процессе испытаний: Б – без замены отказавших систем на новые; В – с заменой отказавших систем на новые;

– продолжительность испытаний. Они могут продолжаться до отказа установленного количества систем r<N или заданный интервал времени Т. Есть план, когда испытания ведутся до отказа r систем, если наработка tr до появления r-го отказа tr<T, или продолжаются определённое время Т, если tr≥T.

По результатам испытаний формируется вариационный ряд наработок на отказ … (t₁ – отказ 1-й системы, t₂ – отказ 2-й системы и т.д.). По ним подсчитывают суммарную наработку на отказ в зависимости от принятого плана испытаний. Рассмотрим возможные планы испытаний:

План: N,Б,r

,

где Т_∑r – суммарная наработка на отказ, через которую можно определить статистическую оценку показателей безотказности, например:

.

План: N,B,r

.

План: N,Б,T

.

План: N,В,T

.

П лан: N,Б,(r,T)

Если t_r < T, то

если t_r ≥ T, то

План: N,В,(r,T)

Если t_r < T, то

если t_r ≥ T, то