Математический маятник

Математическим маятником называется тело весьма малой массы (материальная точка), подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити и способное совершать колебания вокруг точки подвеса. С достаточной точностью можно считать математическим маятником тяжелый металлический шар, свободно подвешенный с помощью длинной тонкой проволоки к кронштейну.

П усть имеем тело массой m, подвешенное на расстоянии l от оси О (рис.3). Под действием составляющей Р₂=Р Sin математический маятник будет совершать колебания. Эта сила называется квазиупругой, как сила неупругая по своей природе, но аналогичная ей по виду зависимости от смещения. Составляющая Р₁ никакого движения не вызывает, ибо уравновешивается силой реакции R. Если угол мал, то синус можно заменить самим углом, тогда:

Р₂=-Р =-mg

Возвращающий момент силы Р₂:

М= Р₂l=-Р l=-mg l (5)

(рис. 3)

Знак минус показывает, что действующая сила направлена в противоположную сторону отклонения маятника. Согласно основного закона динамики вращательного движения возвращающий момент M=I , где I=ml² - момент инерции материальной точки, находящийся на расстоянии l от оси О,

- ускорение, равное второй производной смещения по времени, т.е.

= =d² /dt²

Тогда М=I =ml/(d² /dt²) (6)

Приравнивая уравнения (5) и (6), получают;

-mg l =ml²(d² /dt²); -g =l(d² /dt²);

d² /dt²=-(g/l) или =( -g/l)

Обозначим g/l через , тогда:

(7)

где - собственная циклическая частота колебаний математического маятника. Уравнение (7) для углового смещения маятника аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний под действием упругих сил:

X=d²x/dt=- , (8)

Где x - смещение,

Х= d²x/dt² - ускорение рассматриваемой материальной точки. Поэтому X=f(t) является периодической функцией с периодом

Т=2 / =2 (9)

Период колебаний математического маятника при малых углах определяется

по формуле: Т=2

данная формула является приближенной. Более точная формула для всех

углов: Т=2 (1+ Sin(2 /2))

Пользуясь приближённой формулой для периода колебания математического маятника, можно рассчитать ускорение силы тяжести g.

Вес тела является равнодействующей 2-х сил: силы притяжения к Земле и центростремительной силы, обусловленной вращением Земли. Вес тела вблизи поверхности Земли зависит от географической широты места и от высоты его над уровнем моря. По мере увеличения высоты вес тела уменьшается, т.к. уменьшается притяжение между Землёй и телом. (F= (mМ/г² )). Зависимость веса от широты обуславливается двумя причинами:

1 Земля представляет собой не шар, а эллипсоид вращения (радиусы у полюсов меньше, чем у экватора).

2. На все тела, лежащие на поверхности Земли и участвующие в её суточном вращении вокруг оси, действует центростремительная сила, величина которой зависит от широты места.

Как показали измерения, зависимость ускорения свободного падения от широты места выражается формулой:

g_y=g₀(1-(Cos2 /189)),

Где g_y - ускорение свободного падения на широте,

g₀ - ускорение на уровне моря на широте полюса,

- географическая широта места.

От высоты ускорения g зависит следующим образом: по мере увеличения высоты ускорение уменьшается на каждый метр подъёма на две-три десятимиллионные доли того значения, которое эта величина принимает над уровнем моря.

Опытное определение g имеет как научное, так и практическое значение. Например, опытное определение является одним из широко распространённых методов геологической разведки. Гравитационные аномалии связаны с нахождением под земной поверхностью больших скоплений пород (железных руд). Гравиметрические методы применяются и для определения формы Земли.

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК.

Физическим маятником называется твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, несовпадающей с его центром инерции (рис.4).

П усть имеется физический маятник весом Р и моментом инерции J. Если отклонить маятник на небольшой угол от положения равновесия, он будет совершать гармонические колебания под действием квазиупругой силы:

P₂=P Sin

Составляющая Р₁ уравновешивается реакцией опоры. Возвращающий момент силы Р₂ равен: М=-Р₂a,

М =- Р₂a=-Ра Sin =m aSin (10)

(рис. 4)

Согласно второго закона динамики вращательного движения:

М=J (11)

Из уравнений (10) и (11) получают: J =-mga*Sin

Знак минус поставлен потому, что квазиупругая сила Р₂ всегда направлена в сторону противоположную смещению маятника:

Sin _˜ =d² /dt²

Дифференциальное уравнение колебаний физического маятника записывается в виде:

d² /dt²=(mga/J)* (12)

Сравнивая уравнение (12) с уравнением (8) колебаний под действием упругих сил, получают для циклической частоты:

²=4π²/T²=mga/J, (13)