59.Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией называется мера разброса возможных исходов относительно ожидаемого значения. Причем чем выше дисперсия, тем больше разброс. Дисперсия дискретного распределения рассчитывается следующим образом:

σ2 = Σ(аi - ā)2 *pi

Где 2 - дисперсия доходности; а - ожидаемая доходность; ai - i-й возможный исход; Рi - вероятность появления i-го исхода; п — число возможных исходов; значком  обозначено суммирование по всем n возможным исходам от 1-го до n-го.

Дисперсия — это сумма квадратов отклонений от ожидаемого значения, взвешенная на вероятность каждого отклонения. Характеризует степень колеблемости изучаемого показателя по отношению к его средней величине.

Другим измерителем разброса индивидуальных значений вокруг среднего является среднее квадратическое, или стандартное, отклонение, представляющее собой квадратный корень из дисперсии:

σ = √σ2

60. Коэффициент вариации.

Как правило, чем выше ожидаемая доходность, тем больше величина его среднего квадратического отклонения. Но в общем случае и величины доходности и колеблемость, т.е. изменчивость доходности, могут быть различны. Поэтому для оценки меры относительного риска инвестиций с различной ожидаемой доходностью рассчитывают риск, приходящийся на единицу доходности. Делают это путем определения коэффициента вариации - йотта-коэффициента. Этот коэффициент представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к ожидаемому значению доходности:

V = σ / ā * 100%

V – коэффициент вариации (йота-коэффициент); σ — среднее квадратическое отклонение доходности; а — ожидаемая доходность.

Проект, имеющий более низкое значение коэффициента вариации, обеспечивает более низкий относительный риск и является предпочтительным.

При построении распределений вероятностей используются субъективные — экспертные оценки риска и доходности в будущем. Те же методы применяются и к фактическим данным для получения объективных, а не субъективных, оценок при условии, конечно, что имеются временные ряды или другие фактические данные о величине доходности. Например,

это могут быть данные о доходности акций, облигаций или аналогичных рассматриваемых инвестиционных проектов за последние годы. Эти данные можно использовать для расчета динамических средних значений доходности, которые и будут ожидаемыми величинами доходности, и дисперсии: .

ā = (Σаi) / n,

σ2 = (Σ(аi - ā)2) / (n - 1),

где, как и ранее, a — ожидаемая доходность; σ 2- дисперсия доходности; ai — i-e измеренное значение доходности; п — число измерений доходности, например число членов временного ряда.

Анализ субъективных и объективных распределений вероятностей позволяет сделать вывод о том, что в финансовом анализе приходится сталкиваться с двумя источниками риска: 1) неопределенностью исходов при заданном распределении вероятностей; 2) неточностью используемых распределений вероятностей.

61. Анализ доходности и риска активов в портфеле.

Основным принципом формирования портфеля является принцип диверсификации.

Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается как средневзвешенное доходностей составляющих его акций: r_n = Σ D_i * r_i, где Di – доля конкрет. вида ценных бумаг в портфеле, ri – доходность, n – кол-во ЦБ.

Риск портфеля измеряется средним квадратичным отклонением σn:

σn = Σ Σ Di * Dj * covij,

covij = corij * σi *σj

Дисперсия показывает, насколько волатильна доходность ценной бумаги, ковариация же характеризует степень 1 связи между доходностями двух бумаг. Положительная зависимость между доходностями ценных бумаг увеличивает дисперсию, а соответственно и риск портфеля. Отрицательная зависимость, наоборот, снижает дисперсию портфеля, что безусловно подтверждается практикой. Если цены на активы изменяются в одном направлении, то при снижении цен инвестор потеряет гораздо больше, чем если бы цены одних бумаг падали, а других росли.

Оценить риск при вводе в состав портфеля безриск. актива (например, госуд. ЦБ) можно с помощью определения среднего квадратич. отклонения портфеля: σбезриск. акт. = Dn * σn,

где Dn – доля, которую занимает прежний портфель в формируемом портфеле, σn – риск прежнего портфеля.

Введение в портфель безрисковых ЦБ снижает совокупный риск портфеля. При этом снижается также и доходность. Для определения оптимальной структуры портфеля используют коэффициент γ (гамма) – представляет отношение премии за риск к риску портфеля: γ = (rожидаемая - rбезриск.)/ σn,

где σn – среднекв. откл-е портфеля.

Если количество ценных бумаг стремится к бесконечности, дисперсия портфеля будет приблизительно равна ковариации бумаг между собой. С увеличением числа бумаг в портфеле удельный вес дисперсии стремится к нулю, а удельный вес ковариации стремится к единице:

То есть с ростом числа составляющих портфеля дисперсия каждой отдельной бумаги стремится к нулю, а ковариация не изменяется. Дисперсия превращается в среднюю ковариацию. Это есть не что иное, как диверсификация. Индивидуальные риски ценных бумаг диверсифицируются, тогда как ковариации не могут быть диверсифицированы.