Приложение 2

Графическая обработка результатов измерений

Табл. П2.1 Зависимость приведённой вязкости _r от концентрации, с.

с (г/л)	r (л/г)
0.300	0.433
0.500	0.402
1.00	0.480
1.50	0.493
2.00	0.568
3.00	0.617
5.00	0.770

Пары чисел (х, у), находящихся во взаимном соответствии, могут быть представлены не только таблицей, но и графически в виде диаграммы в координатах х, у. Если числа (х, у) явля­ются результатами измерений и, следовательно, содержат ошибки измерений, их графическое изображение называется диаграммой рассеяния. Пары чисел в этом случае изображаются от­дельными "точками" на плоскости (х, у). Такие диаграммы являются типичными для математики дискретных переменных, например в математической статистике. Если числа (х, у) представляют функциональную зависимость у = (х), в которой аргумент х является непрерывной переменной, а функция у может быть вычислена с произвольно высокой точностью для любого х в некотором диапазоне изменения х, диаграмма называется графиком функции у = (х). Зависимость у = (х) в этом случае изображается непрерывной линией, которую следует рассматривать как множество точек (х, у), сливающихся в одну линию. Такие диаграммы являются типичными для математики непрерывных переменных, например в математическом анализе.

Табл. П2.1 Зависимость приведённой вязкости _r от концентрации, с.

с (г/л)	r (л/г)
0.300	0.433
0.500	0.402
1.00	0.480
1.50	0.493
2.00	0.568
3.00	0.617
5.00	0.770

В экспериментальных исследованиях часто используют комбинированные диаграммы, со­вмещающие диаграмму рассеяния и график функции в одних координатных осях (х, у). (В обиходе, такую комбинацию называют просто графиком). Это совмещение базируется на предположении, что функциональная зависимость, график которой изображен, лежит в основе соответствия между измеренными значениями х и у, и что экспериментальные точки принадле­жали бы данному графику функции, если бы не содержали погрешностей измерения.

2.1 Построение и обработка линейного графика

Рассмотрим построение и обработку линейного графика на частном примере. Пусть даны экспериментальные значения концентраций c растворов некоторого полимера и соответствующие им значения приведённой вязкости, как показано в таблице П2.1, причём для приведённой вязкости (см. лаб. работу 2) будем использовать сокращённое обозначение _r .

Из теоретических соображений и предшествующих исследований известно, что приведённая вязкость и концентрация связаны линейной функциональной зависимостью общего вида у = а + bх, где у = _r и х = с. В такого рода зависимостях параметр a называется свободным членом или начальной ординатой графика, а параметр b - угловым коэффициентом или коэффициентом наклона. Задача графической обработки – найти параметры а и b, которые наилучшим образом удовлетворяют данным в таблице П2.1.

Построение любого графика полезно разбить на отдельные стадии.

1) Решить, какие числа отвечают независимой переменной х и какие – функции у, и записать имеющиеся пары чисел в виде таблицы в порядке увеличения независимой переменной. В данном примере эта стадия уже пройдена (табл. П2.1).

2) Выбрать приблизительный размер графика соответственно целям и сложности графического построения. Если график нужен для целей иллюстрации, то есть чтобы видеть "ход" изменения у при изменении х, можно выбрать небольшой размер, например четверть или даже меньшую часть обычного листа. Если он нужен для дальнейшей графической обработки (дополнительных построений и измерений), размер должен быть настолько большим, чтобы точность измерений на нём была не меньше точности измерения физических величин, для которых он строится. Для линейных графиков обычно бывает достаточно половины или одной трети формата А4 (21 см × 29.7 см). В данном случае, можно выбрать приблизительный размер 10 см × 10 см, и на следующей стадии откорректировать его в большую или меньшую сторону.

3) Выбрать масштабы по осям графика, то есть количество единиц измерения физических величин (_r и с в рассматриваемом примере), содержащееся в единицах длины (например в 1 см) соответствующих осей. Эта стадия является наиболее деликатной, так как масштаб должен быть "удобным", а понятие удобства является отчасти субъективным и компромиссным. Рекомендуется следующая процедура. Пусть L – первоначально намеченная длина оси (10 см в данном случае), Ф – интервал изменения физической величины. Сначала следует составить дробь номинального масштаба Ф(ном)/L, где Ф(ном) – фактический интервал изменения физической величины в таблице данных. Затем, на основании этой дроби, выбрать графический масштаб Ф(граф)/L', где Ф(граф) – округлённое в сторону увеличения значение Ф(ном), а L' – откорректированное, если в этом есть необходимость, значение L. Обычно масштаб получается удобным, когда Ф(граф) и L' откорректированы так, что частное от их деления выражается числом с одной ненулевой цифрой. При построении на миллиметровой бумаге, эта цифра должна быть 1, 2 или 5 (это связано с тем, что 10 мм делятся без остатка на эти числа, что позволяет легко считывать показания на миллиметровой бумаге). При построении на бумаге "в клеточку" (в ученической тетради), удобный масштаб зависит от того, что выбрано в качестве единицы длины. Если считать, что две клеточки составляют 1 см, то удобными числами являются 1, 2 и 4 (это связано с тем, что две клеточки "легко" делятся на эти числа). Однако, величина корректировки Ф должна быть как можно меньше, чтобы площадь графика использовалась эффективно.

В данном примере, по оси абсцисс откладывается концентрация с, для которой дробь номинального масштаба (см. табл. П2.1) составляет (5 – 0.3)/10 = 4.7/10. Очевидно, что откорректированный масштаб должен составлять 5/10 (при построении на миллиметровой бумаге), то есть 0.5 г/л в 1 см, причем у начала оси x следует поместить значение 0 г/л. Тогда максимальному значению 5 г/л будет отвечать 10 см от начала оси.

По оси ординат откладывается приведённая вязкость, для которой дробь номинального масштаба равна (0.770 – 0.433)/10 = 0.337/10. Эту дробь следует откорректировать до 0.5/10 (при построении на миллиметровой бумаге), и поместить в начало оси значение 0.3 или 0.4 л/г – в любом случае интервал 0.5 л/г "накроет" весь фактический интервал от 0.433 до 0.770 л/г.

4) Отложить на каждой оси по несколько основных засечек с метками, то есть с числами, показывающими масштабы и координаты, и указать откладываемые физические величины с их единицами измерения у каждой оси (см. рис. П2.1 а). В принципе, достаточно двух основных засечек на каждой оси, но для удобства обычно наносят несколько (от трёх до пяти), располагая их равномерно по осям. Если используется бумага, на которой нет типографской сетки, то интервалы между основными засечками разбивают ещё на несколько частей и снабжают их вспомогательными засечками (без меток). Иногда дополнительно наносят линии сетки, но при построении на миллиметровой бумаге этого делать не имеет смысла.

5) Построить диаграмму рассеяния, то есть отметить "точками" (их называют так же маркерами) координаты каждой пары чисел из таблицы данных (рис. П2.1 б). "Точки" должны быть настолько большими, чтобы они были ясно различимы на окончательном графике.

На этой стадии становится ясным насколько правильно выбраны масштабы по осям. Если диаграмма рассеяния покрывает только половину или меньшую часть площади графика, как показано на рис. П2.1 в), то масштаб следует откорректировать заново, в сторону уменьшения разности Ф(граф) - Ф(ном).

6) Построить график, который, как предполагается, лежит в основе диаграммы рассеяния. С помощью линейки (желательно прозрачной) следует подобрать такое положение прямой, при котором все точки либо попадают на выбранную прямую, либо отклоняются от неё вверх и вниз "в одинаковой степени". Математический смысл этой процедуры объясняется в приложении 3.2. В качестве практического руководства можно исходить от противного – график подобран неправильно, если точки диаграммы рассеяния отклоняются от него преимущественно в одну сторону (см. рис. П2.1 г и д).

7) В заключении следует найти коэффициенты а и b построенного графика у = а + bх. Для этого следует выбрать любые две точки, принадлежащие графику (например, точки 1 и 2 на рис. П2.1 е), определить их координаты (х₁,у₁) и (х₂,у₂) и вычислить

, , или (П2.1)

Процедура вычисления углового коэффициента эквивалентна нахождению тангенса угла наклона графика к оси абсцисс путём решения прямоугольного треугольника 1-2-3 (рис. П2.1 е). Действительно, разности у₂ – у₁ и х₂ – х₁ представляют собой длины катетов этого треугольника, взятые в единицах измерения физических величин, отложенных по осям. К сожалению, формулировка "найти тангенс угла наклона графика" может провоцировать ошибочные действия. Если (3-1-2) измерить транспортиром в градусах и затем вычислить тангенс этого угла, то, в общем случае, получится неправильный результат, потому что наблюдаемый угол зависит от масштабов, принятых для осей координат. В этом легко убедиться, если сравнить наклоны графиков на рис. П2.1 е и в, которые построены для одних и тех же чисел, но с разными масштабами по осям ординат.