3.1. Расчет параметров разветвленных цепей узловым методом

3.2. Расчет параметров разветвленных цепей методом контурных токов

Вариант задания соответствует номеру, приведенному на рисунке.

Величины элементов, обозначенные на рисунках схем: (R – Ом; U - В).

Для проверки результатов использовать уравнение баланса мощностей.

Рекомендуемая литература

1. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. – М.: Высш. шк., 2003. – 540 с.

2. Рекус Г.Г. Основы электротехники и промышленной электроники в примерах

и задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2008. – 343 с.

3. Алиев И.И. Электротехнический справочник. – М.: Радио, 2000. – 384 с.

4. Сборник задач по электротехнике и основам электроники / Под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высш. шк., 1987. – 288 с.

5. Березкина Т.Ф., Гусев Н.Г. Задачник по общей электротехнике с основами электроники. – М.: Высш. шк., 1983. – 368с.

Тема №4 Оценка параметров неразветвленной цепи с источником синусоидальной эдс

Цель занятия: Анализ и оценка параметров неразветвленной цепи с источником синусоидальной ЭДС, используя комплексный метод.

Для цепи с синусоидальным источником и нагрузками R, L, C типа необходимо учитывать свойства реактивных элементов, сопротивление которых (реактивное Х и полное Z) зависят от частоты источника [6]. Кроме этого, для цепей с реактивными элементами необходимо учитывать вносимый ими фазовый сдвиг.

При решении задач комплексным методом, используют правила Эйлера:

1) j·j = -j·-j = -1; 2) –j·j = 1; 3) j³ = -j; 4) 1/j = -j; 5) 1/-j = j; 6) cosφ+jsinφ = e^jφ.

Свойство: Умножить любое число на j, значит повернуть его вектор на угол 90^о.

Рассмотрим способ записи параметров цепи методом комплексных величин

П ример 1. Даны комплексы напряжений и тока в нагрузке: Ū = (20+j40); Ī = (5+j3).

Определим напряжения на элементах и ток в

цепи в их мгновенных значениях.

Решение. Активная часть: U_R = 20 В; I_R = 5 А;

Реактивная часть: U_Х = 40 В; I_Х = 3 А.

На комплексной плоскости заданным значениям действующих величин напряжения и тока соответствуют векторы Ū и Ī.

Длины векторов (их модули) - как действующие значения напряжения и тока:

U = U_R²+U_X²; U = 20²+40² = 44,7 (B); I = 5²+3² = 5,83 (A).

Аргумент – начальный фазовый сдвиг напряжения и тока составят:

tg ψ_u = U_Х/U_R = 40/20 = 2; ψ_u = 63°25’; tg ψ_i = I_Х/I_R = 3/5 = 0,6; ψ_i = 31°.

Запишем комплексы напряжения и тока в показательной форме (2-я способами):

1 ) U = (U_m / 2 )∙exp ^jψu = 44,7∙exp ^j63°25’(B); I = (I_m / 2 )∙exp ^jψi = 5,83∙exp ^j31°(A);

2 ) U = Ur²+Ux²∙e ^{jarctg Ux/Ur} = 44,7∙e ^j63°25’; I = Ir²+Ix²∙e ^{jarctg Ix/Ir} = 5,83∙e ^j31°.

Комплексы амплитуд составят: U_m = √2∙U∙exp ^jψu = 63∙exp ^j63°25’(B);

I_m = √2∙I∙exp ^jψi = 8,22∙exp ^j31(A).

Для записи мгновенных значений параметров в виде синусоидальных функций можно использовать мнимую часть (Im) комплексных изображений:

u(t) = U_m∙e ^jωt = 63,3 e ^{j(63°25’+ ωt)} = 63,3sin(ωt + 63°25’) (B).

i(t) = I_m∙e ^jωt = 8,25 e ^{j(31°+ ωt)} = 8,25sin(ωt + 31°) (А).

Обратная задача: запись в тригонометрической и алгебраической форме:

U = [(U_m/√2)cos63°25’+j(U_m/√2)sin63°25’]=44,8·cos0,447+j44,8·sin0,894 = (20+j40).

I = (I_m/√2)cos31° + j(I_m/√2)sin31° = 5,83·cos0,858 + j5,83·sin0,515 = (5 + j3).

Определим характер нагрузки и величины элементов, входящих в цепь:

полное сопротивление цепи: Ź = R+jX =Ū/Ī =(20+j40)/(5+j3) = (6,47 + j4,11),

т.е. в цепи преобладает активно-индуктивная нагрузка: R ≈ 6,5; X_L ≈ 4,1(Ом).

Пример 4.2. Анализ параметров цепи в комплексной форме

Определим параметры цепи: e_(t), u_R(t), u_C(t), u_L(t), u_RL(t), u_LC(t), i_(t), S, P, Q

цепи в комплексной форме и построим векторную диаграмму параметров цепи.

Дано: u_RC(t) = 56,4·sin(400t – 59^o);

R=8(Ом); L=0,025(Гн); С=312(мкФ).

Решение:

X_L = jωL = 400·0,025 = j10 (Ом);

X_C = 1/jωC = 10⁶/400·312 = – j8(Ом);

Ź = R+jx = 8+j10–j8 = (8+j2).

В ектор Z: Z = R²+Х ²·e ^jаrctgX/R = 8²+2² ·e ^jаrctg2/8 = 8,246·e ^j14,03˚ (Ом).

Определим Z_RC на участке цепи RC: Z_RC = R+X_C = (8–j8).

В ектор Z_RC = R²+(–Х_С²)·e ^{j arctg(–x/r)} = 11.31·e ^{j arctg(–1)} = 11.31·e ^–j45˚.

[u_RC(t) = U_mRC·sin(ωt – ψ_U^o)]; U_mRC = 56,4·e ^–j59˚; U_RC = 40·e ^–j59˚.

[Ū_RC = 40cos-59˚+ j40sin-59˚= 40·0,515-j40·0,857 = (20,6– j34,28)].

Ток в показательной форме: I = U_RC /Z_RC = 40·e^–j59˚/11,31·e ^–j45˚ ≈ 3,536·e ^–j14˚.

i_(t) = I_m sin(ωt – ψi)= (1,41·3,536)·e ^–j14˚ = 5·e ^–j14˚. i_(t) = 5·sin(400t–14˚).

U_L = I·Z_L = 3,536·e ^–j14˚·10e ^j90˚ = 35,36 e ^j76˚ (B). Ū_L

u _L(t) = ( 2·35,35)·sin(400t +76˚) = 50 sin(400t +76˚) (B). E

U _C = I·Z_C = 3,536·e ^–j14˚·8·e ^{– j90}˚ = 28,28·e ^–j104˚ (B). U_R Ū_РЕАКТ

u _C(t) = ( 2·28,28)·sin(400t –104˚) = 40 sin(400t –104˚). Ū_C

U_R = I·Z_R = 3,536·e^–j14˚·8e ^j0˚ = 28,28 e^{– j14˚} (B). Ū_РЕАКТ = (Ū_L–Ū_C)

u _R(t) = ( 2·28,28)·sin(400t –14˚) = 40 sin(400t –14˚) (B). Диагр. напряжений.

E = I·Z = 3,536·e ^–j14˚·8,246·e ^j14˚ = 29,158 e ^j0 (B).

e _(t) = ( 2·29,158)·sin(400t ±0˚) = 41,11sin 400t (B). [I’ – сопряженный ток]

S = E·I’ = 29,15 e ^j0·3,53·e ^+j14˚ ≈ 103·e^{+ j14˚}. где: P = 100(Вт); Q = +24,8 (ВАр).

P = S∙cosφ = 103·0,97=100; Q = S∙sinφ = 24,8.

Построение векторной диаграммы (рис. 4.2,б).

Проверка правильности расчета:

1) Существует справедливость отношений:

8/2 = R/X = P/Q = (100/24,8) ≈ 4/1.

2) S = I’·(U_R + U_L + U_C) ≈ (100 + j25);

3) Ē = (U_R+U_L+U_C) = (27,44-j6,84)+(8,55+j34,3)+(-6,84-j27,44) ≈ (29,15);

Значения тригонометрических функций приведены в приложении П2.

Пример 4.3. Анализ параметров цепи в комплексной форме

Н еразветвленная цепь - рис. 4.3.

Параметры: R₁ = 6 Ом, L = 0,02 Гн,

R₂ = 2 Oм, C = 500 мкФ,

u_ВХ = 70,5 sin500t. (u = U_m.ВХ sinωt).

Определить параметры:

Z_Ц, I, U_R1, U_R2, U_С, U_L, P, Q, S, cosφ

и начертить векторную диаграмму для электрических параметров цепи.

При решении задачи используют правила (шесть свойств) по Эйлеру:

1) j·j = -j·-j = -1; 2) –j·j = 1; 3) j³ = -j; 4) 1/j = -j; 5) 1/-j = j; 6) cosφ+jsinφ = e^jφ.

Свойство по Эйлеру: Умножить число на j, т.е повернуть его вектор на φ = 90^о.

Решение. 1.Определим сопротивления элементов цепи: Х_L, Х_С, Ź_Ц.

Х_L = jω·L = j·500·0,02 Гн = j10 (Ом);

Х_C = 1/(jω·C) = 1/[j·500·0,000500 (Ф)] = 4/j = (-j)·4/[(-j)·j] = –j4 (Ом);

Z = R₁ + R₂ + (Х_L+Х_С) = (6 + 2 + j10 – j4) = (8 + j6).

2. Ток в цепи в алгебр. форме: Ī = Ū_ВХ/Z_Ц = (U_m.ВХ/√2)/(8+j6) = (70,5/√2)/(8+j6).

Ī = (50·(8–j6))/[(8+j6)·(8–j6)] = (400–j300)/(64+j48 – j48 +36)= (4 –j3).

М одуль тока (вектор): I = 4² +(–3)² ·ехр ^{jarctg (-3/4)} = 5·е^{–j arctg (0,75)}. I = 5·е^–j36˚^50’.

Ū_R = Ī·(R₁ + R₂) = (4–j3)·(6+2) = (32–j24) (алгебраическая форма записи).

М одуль U_R = (32²+(–24²)·е^{j arctg (–24/32)} =40·е^{–j arctg (0,75)} =40·е^–j(36˚^50’) (показательн. форма).

Ū_L = Ī·Х_L = (4–j3)·j10 = (30 +j40) (алгебр. форма записи).

М одуль U_L = (30² +40²) ·е^{j arctg (40/30)+ψuL} = 50·е^{j arctg (1,33)+90}˚ = 50·е^j(53˚⁺⁹⁰˚⁾.

Ū_C = Ī·Х_C = (4–j3)·–j4 = (–12–j16).

М одуль U_C = (–12²)+(–16)² ·е^{j arctg (–16/–12)– ψuC} = 20·е^{j arctg (1,33)–ψuC} = 20·е^j(53˚^–90˚⁾.

Ū_LR1 = Ī·(R₁+Х_L) = (4–j3)·(6+j10) = (24–j18 +j40+30) = (54+j22).

М одуль U_LR1 = (54² +22²)·е^{j arctg (22/54)} = 58,3·е^{j arctg (0,407)} = 58,3·е^j(22˚^9’).

Ū_CR2 = Ī·(R₂+Х_C) = (4–j3)·(2–j4) = (8–j6–j16–12) = (–4–j22).

М одуль U_CR2 = (–4²)+(–22)² ·е^{jarctg (–22/–4)} = 22,3·е^{jarctg (5,5)} = 22,3·е^{j (79}˚^40’).

Ś = Ī’(Ū_L+Ū_С +U_R) = (4+j3’)·(30+j40–12–j16+32–j24)=(4+j3’)·(50) = (200+j150).

М одуль S = 200²+150² ·е^{jarctg (150/200)} = 250·е^{j arctg (0,75)} = 250·е^{j (36}˚^50’) (ВА).

Проверка правильности расчета: (Ī’ – сопряженный ток)

1) Существует справедливость отношений: (8/j6) = (R/X) = P/Q = (200/j150) = 4/3.

1) Существует другая форма оценки S: S = I’·(U_R+U_L+U_C) ≈ (200+j150).

РГР № 4.1. Задание для самостоятельного решения

Для схемы (рис. 4.4) определить следующие параметры: e_(t), i_(t), u_R(t), u_L(t), u_C(t), S, Q, P, соsφ и построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Для нечетных вариантов – рис. 4,4.а; для четных вариантов – рис. 4,4.б.

Таблица 4.1. Варианты заданий для РГР № 4.1

Заданные значения параметров элементов схемы					Определить параметры цепи
№	R, Ом	L (Гн)	С (мкФ)	Напряжение или ток	Z	I	E, U	P	Q	S
1	20	0,04	2000	e(t) = 10 sin100t
2	24	0,03	2000	i(t) = 3,3 sin(100t+25˚48' )
3	16	0,04	1250	uR(t) = 16,69 sin(100t+36˚54')
4	28	0,03	1250	uL(t) = 14,2 sin (200t+76˚ 6')
5	30	0,006	400	uC(t) = 41,60 sin(500t–53˚ 6')
6	15	0,014	1000	e(t) = 15 sin200t
7	14	0,03	2500	i(t) = 2,7 sin(200t–45˚30' )
8	24	0,05	1250	uR(t) = 8,77 sin(100t+53˚6')
9	34	0,008	400	uL(t) = 46,8 sin(500t+103˚54')
10	12	0,006	250	uC(t) = 73,54 sin(1000t–135˚)
11	25	0,014	1000	e(t) = 20 sin500t
12	8	0,005	625	i(t) = 2,9 sin(400t+14˚30')
13	15	0,01	500	uC(t) = 31,4 sin(400t–78˚24')
14	14	0,0075	625	uL(t) = 10,9 sin(400t+104˚30')
15	15	0,01	500	uC(t) = 31,4 sin(400t–78˚24')
16	26	0,03	2500	e(t) = 34 sin200t
17	18	0,04	2000	i(t) = 2,15 sin(100t+6˚54')
18	22	0,04	5000	uR(t) = 7,08 sin(100t–45˚)
19	10	0,02	2500	uL(t) = 17 sin(200t–53˚12')
20	30	0,01	250	uC(t)=113 sin(500t–44˚30')
21	26	0,03	2500	е(t) = 56 sin1000t
22	28	0,04	2000	i(t) = 2,233 sin(100t +7˚)
23	12	0,04	5000	uR(t) = 7,07 sin(100t–45˚)
24	30	0,03	2500	uL(t) = 31,20 sin(200t–53˚)
25	33	0,01	250	uC(t) = 113,1 sin(500t–45˚)
26	16	0,03	2500	e(t) = 35 sin 200t
27	18	0,04	2000	i(t) = 2,233 sin (100t +7˚)
28	22	0,04	5000	uR(t) = 7,07 sin(100t–45˚)
29	13	0,03	2500	uL(t) = 31,20 sin(200t–53˚)
30	23	0,01	250	uC(t) = 113,1 sin(500t–45˚)

* Значения тригонометрических функций приведены в Приложении.

РГР № 4.2. Задание для самостоятельного решения

Таблица 4.2. Задание для РГР № 4.2. Схема для расчета приведена на рис. 4.2

Рекомендуемая литература

1. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. – М.: Высш. шк., 2003. – 540 с.

2. Рекус Г.Г. Основы электротехники и промышленной электроники в примерах

и задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2008. – 343 с.

3. Алиев И.И. Электротехнический справочник. – М.: Радио, 2000. – 384 с.

4. Сборник задач по электротехнике и основам электроники / Под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высш. шк., 1987. – 288 с.

5. Березкина Т.Ф., Гусев Н.Г. Задачник по общей электротехнике с основами электроники. – М.: Высш. шк., 1983. – 368с.