6.1.4.4.Скалярное произведение равно произведению длины одного из векторов на проекцию другого на направление первого: .

6.1.4.5.Распределительный закон. .

6.1.4.6. Чтобы умножить скалярное произведение на число, достаточно умножить на это число один из перемножаемых векторов: . Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Если векторы и даны своими координатами: и , то их скалярное произведение определяется формулой

Длина вектора в координатной форме.

Угол между двумя векторами в координатной форме.

Векторное произведение двух векторов. Определение.

Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, удовлетворяющий условиям:

1. . 2. .

3.Векторы в указанном порядке образуют правую тройку.

(Взаимная ориентация векторов в пространстве такая, как у векторов ).

Свойства векторного произведения.

6.2.2. 1. Векторное произведение равно нулю в одном из следующих случаев:

а) векторы коллинеарны (сонаправлены или противоположно направлены);

б) один из сомножителей (или оба) является нулевым вектором.

6.2. 2.2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак:

.

6.2. 3. Распределительный закон (без доказательства).

и .

6.2. 4. Чтобы умножить число на векторное произведение, достаточно умножить это число на один из перемножаемых векторов: .

Верно и соотношение: .

6.2. 5. Модуль векторного произведения равен пощади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах

Векторное произведение в координатной форме.

Если векторы и даны своими координатами: и , то их векторное произведение определяется формулой:

Формула площади треугольника (через векторное произведение).

Если сторонами треугольника служат векторы и , то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма (см. 6.2. 5.), построенного на этих векторах, то есть половине модуля векторного произведения этих векторов:

Смешанное произведение трех векторов. Определение.

Смешанным произведением трех векторов и называется произведение вида

Свойства смешанного произведения.

6.4.2.1.Смешанное произведение трех векторов –величина скалярная.

6.4.2. 2. Абсолютная величина смешанного произведения трех некомпланарных векторов и равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

₆.4.2.3.Смешанное произведение не изменится при круговой перестановке векторов: или

₆.4.2. 4.Смешанное произведение не изменится, если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения: _.

6.4.2. 5. Смешанное произведение изменит знак при перестановке двух векторов.

_6.4.2.6. Смешанное произведение обращается в 0, если:

_{1) хотя бы один из перемножаемых векторов равен 0;}

_{2) два из перемножаемых векторов коллинеарны;}

_{3) все перемножаемые векторы компланарны.}

₆.4.2.7. Теорема. Если векторы _, и даны своими координатами: и то их смешанное произведение определяется формулой:

Объем треугольной пирамиды (через смешанное произведение).

Если вершинами пирамиды служат точки , то ее объем можно вычислить по формуле:

Условие компланарности трех векторов.

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0: =0 или

8) Плоскость и прямая в пространстве.

Векторное уравнение плоскости.

Векторным уравнением плоскости называется уравнение, которое имеет вид:

Здесь нормальный вектор плоскости, радиус-вектор текущей точки, радиус-вектор заданной точки.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору в координатной форме.

- уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. (Уравнение, заданное нормальным вектором и точкой лежащей в плоскости).

Общее уравнение плоскости.

Уравнение называется общим уравнением плоскости. (Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек, принадлежащих плоскости, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих в плоскости).

Частные случаи расположения плоскостей.

Особенности расположения плоскости, заданной общим уравнением , если некоторые коэффициенты обращаются в ноль.

1. .

В этом случае нормальный вектор плоскости перпендикулярен оси . Плоскость параллельна этой оси (перпендикулярна плоскости ).

2. (Самостоятельно). 3. . (Самостоятельно).

4. и В этом случае нормальный вектор плоскости перпендикулярен осям и , он параллелен оси . Плоскость параллельна осям и (параллельна плоскости и перпендикулярна оси ).

5. и (Самостоятельно). 6. и . (Самостоятельно).

7. - плоскость проходит через начало координат.

8. и плоскость проходит через ось .

9. и (Самостоятельно); 10. и (Самостоятельно).

11. плоскость совпадает с плоскостью . Ее уравнение .

12. (Самостоятельно). 13. (Самостоятельно).

Формула расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле:

Формула определения угла между двумя плоскостями.

Условие параллельности двух плоскостей.

Если плоскости параллельны ( и -коллинеарны), то .

Условие перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости перпендикулярны ( и -перпендикулярны), то .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки и .

Векторное уравнение прямой.

Здесь направляющий вектор прямой, радиус-вектор текущей точки, радиус-вектор заданной точки.

Параметрические уравнения прямой.

Формулы направляющих косинусов.

Если обозначить через углы прямой соответственно с осями координат ; и , то косинусы этих углов (направляющие косинусы) определяются формулами:

Канонические уравнения прямой.

Формулы определения угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми -это угол между их направляющими векторами. , поэтому угол между прямыми определяется формулой: Угол между прямой и плоскостью определяется формулой:

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Параллельности

Перпендикулярности

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Параллельности

Перпендикулярности

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Пересечение прямой и плоскости.

Пусть прямая задана как линия пересечения плоскостей: .

Чтобы получить ее каноническое уравнение нужно найти направляющий вектор этой прямой.

Координаты одной из точек, расположенных на прямой, определяем, решив систему Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно, чтобы прямая была записана в параметрической форме.

Координаты точки определяются как решения системы:

9) Поверхности второго порядка.

Определение сферы. Уравнение сферы.

Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки (центра сферы).

- уравнение сферы.

Цилиндрические поверхности. Определение. Образующая, направляющая.

Цилиндрическими называются поверхности, образованными перемещением прямой (образующей), которая сохраняет постоянное направление и при движении пересекает некоторую неподвижную линию (направляющую).

Расположение образующей и направляющих для цилиндрических поверхностей, заданных уравнениями: и .

а) Пусть направляющая цилиндрической поверхности расположена в плоскости , то есть задана системой: , а образующая ее параллельна оси

Очевидно, что уравнению удовлетворяют координаты любой точки этой цилиндрической поверхности.

б) Если образующая цилиндрической поверхности параллельна оси то уравнение поверхности имеет вид , а одна из направляющих задана системой: .

в) Если образующая цилиндрической поверхности параллельна оси то уравнение поверхности имеет вид , а одна из направляющих задана системой: .

Ц илиндры второго порядка: эллиптический цилиндр (круговой цилиндр), гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.

8.2.3.3.1. Эллиптический цилиндр: .

Осью этого цилиндра служит ось. Одна из направляющих цилиндра – эллипс, расположенный в плоскости .

Частный случай. Круговой цилиндр: