2. Теоретические основы построения стохастических моделей

2.1. Случайные величины. Основные виды случайных величин

В повседневной жизни часто приходится сталкиваться с событиями, состоящими в появлении некоторой величины (число дождливых дней в августе; время, на которое задерживается поезд; количество свободных мест в зрительном зале и т.д.). Величины, которые могут принимать в результате опыта какое-либо одно возможное значение, заслуживают особого внимания и являются предметом дальнейшего изучения.

Случайной называют переменную величину, которая может принимать в результате опыта единственное значение из множества всех возможных значений, заранее (до проведения опыта) неизвестное.

Случайные величины (СВ) обозначаются X, Y, Z,…, а принимаемые ими значения , ,…; , , ;…

Примеры:

1. Случайная величина X – число попаданий при 3-х выстрелах по мишени. Значения случайной величины: ; ; ; .

2. Случайная величина Y – температура воздуха, измеренная в определенный день месяца. Все значения случайной величины Y перечислить невозможно, они принадлежат некоторому числовому промежутку, т.о. , минимальное значение температуры, максимальное значение температуры.

В зависимости от принимаемых значений различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями.

(В дальнейшем будем говорить о дискретной случайной величине, принимающей конечное множество значений)

Примеры дискретных случайных величин (ДСВ):

1. Дискретная случайная величина X – число партий, сыгранных вничью, из 10 сыгранных партий.

2. Дискретная случайная величина Y – номер страницы книги, открытой наугад.

3. Дискретная случайная величина Z – число студентов в некоторой группе.

Непрерывной называют случайную величину, все возможные значения которой принадлежат некоторому числовому промежутку, конечному или бесконечному. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.

Примеры непрерывных случайных величин (НСВ):

1. Непрерывная случайная величина X – координата точки, наугад выбранной на отрезке .

2. Непрерывная случайная величина Y – рост человека.

3. Непрерывная случайная величина Z – привес домашнего животного за месяц.

2.2.Числовые характеристики случайных величин

При решении ряда задач нет необходимости подробно описывать случайную величину, достаточно указать некоторые числовые параметры случайной величины, которые характеризуют отдельные существенные ее свойства и отражают их в компактной форме. Их называют числовыми характеристиками случайной величины. Назначение числовых характеристик – в сжатой форме выразить наиболее важные особенности распределения СВ.

1. Математическое ожидание случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех возможных значений этой величины на соответствующие вероятности их появления.

Обозначение: М(Х).

M(X)= , где – значение случайной величины, – вероятность появления значения случайной величины.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, все возможные значения которой принадлежат [a;b], называют число, определяемое по формуле – плотность вероятности непрерывной случайной величины Х.

Замечание. Если непрерывная случайная величина X распределена на всей числовой оси, то , при условии того, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. где а – некоторое число.

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что математическое ожидание является средним значением СВ.

Свойства математического ожидания

1. М(С)=С, где C-const.

Математическое ожидание постоянной величины равно значению этой величины.

2. М(CX)=СM(X), где C-const.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3. М(X+Y)=M(X)+M(Y).

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий, т.е. М(X-Y)=M(X)-M(Y).

4. .

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

5. M(X)

Математическое ожидание случайной величины заключено между наибольшим и наименьшим ее значениями.

6. М(X-M(X))=0, где X –М(X) – отклонение СВ Х от математического ожидания.

Математическое ожидание отклонения случайной величины Х от её математического ожидания равно 0.

Доказательство свойств можно провести, используя определение математического ожидания.

2. Дисперсия случайной величины.

Необходимость введения этой числовой характеристики вызвана тем, что на практике часто встречаются СВ, имеющие равные математические ожидания, но значения одной из них резко отличаются от значений другой, например:

Х	-1	0	1		Х	- 5000	0	5000
Р	0,3	0,4	0,3		Р	0,2	0,6	0,2

М(Х)=М(Y)=0 (проверьте это самостоятельно).

Дисперсия – это числовая характеристика, выражающая меру рассеяния значений СВ вокруг математического ожидания.

Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Обозначение: D(X).

D(X)= .

Дисперсией непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат [a;b], называют число, определяемое по формуле:

D(X)= – плотность распределения вероятностей.

Замечание. Если значения НСВ X распределены на всей числовой оси, то D(X)= если интеграл сходится.

Свойства дисперсии.

1. D(С)=0, где C-const.

Дисперсия постоянной величины равна 0.

2. D(CX)= , где C-const.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3.

Дисперсия суммы (или разности) двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

4. D(X)=

Дисперсия СВ равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ и квадратом ее математического ожидания.

3. Среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) случайной величины называют корень квадратный из ее дисперсии.

Обозначение. .

Среднее квадратическое отклонение случайной величины имеет ту же размерность, что и сама величина (в отличие от дисперсии, размерность которой представлена в квадратных единицах размерности случайной величины).

4. Мода случайной величины.

Модой дискретной случайной величины Х называют наиболее вероятное ее значение.

Модой непрерывной случайной величины Х называют такое ее значение, которому соответствует наибольшая плотность вероятности.

Обозначение. .

Пример. Мода дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения, равна 4, т.к. .

Х	-2	4	8	11	15
Р	0,1	0,3	0,2	0,1	0,2

Пример. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей f(x), график которой изображен на рисунке 12.

y=f(x)

, т.к. - max.

Рис.12

5. Медиана непрерывной случайной величины.

Медианой непрерывной случайной величины Х называют такое ее значение, для которого выполняется равенство: , где – медиана непрерывной случайной величины Х.

Геометрическая иллюстрация:

, где – площади заштрихованных фигур (Рис.13) .

Рис.13