Заключение
В учебном пособии была предпринята попытка рассмотреть некоторые аспекты математического моделирования как метода исследования процессов. Автором обобщены результаты научных исследований и изложены применительно к обучению магистрантов по направлению подготовки 111900.68 – Ветеринарно-санитарная экспертиза. Изложение теоретического материала проведено на научном и вполне доступном для понимания, языке и иллюстрируется примерами, что способствует повышению результативности работы как аудиторной, так и внеаудиторной работы.
Дополнительные теоретические сведения для более глубокого изучения дисциплины по изложенным разделам можно найти в литературе, приведенной в библиографическом списке.
Ответы к заданиям
1. Основы математического моделирования
1)
;
2)
.
2. Теоретические основы построения стохастических моделей
1.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,59049 |
0,32805 |
0,0729 |
0,0081 |
0,00045 |
0,00001 |
2.
-
1
2
3
4
3.
С=2;
;
;
.
4.
Х |
3 |
4 |
Р |
0,9 |
0,1 |
5.
;
;
.
3. Выборочный метод. Построение модели выборки
1.
;
.
2.
;
;
3. Дисперсии равны.
4. Математические модели теории принятия решений
1.
.
2.
.
3.
.
Приложения Приложение 1.
Некоторые методы формализованного представления моделируемых систем
Название класса методов 1 |
Терминологический аппарат и примеры теорий, развивающихся на базе соответствующего класса методов
2 |
Сфера применения
3 |
Аналитические
|
Методы, в которых
ряд свойств многомерной, многосвязной
системы (или части системы) отображается
в n-
мерном пространстве единственной
точкой. Это отображение осуществляется
либо с помощью функции
Аналогично, две или более систем (либо их части) можно отобразить точками и рассматривать взаимодействие этих точек. Поведение их описывается аналитическими закономерностями. Основу понятийного аппарата составляют понятия классической математики: величина, функция, уравнение и т.д. На базе аналитических методов возникли и развиваются математические теории различной сложности – от аппарата классического математического анализа |
Применяются в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей (т.е. когда знания о процессах или событиях в некотором интервале времени полностью позволяют определить их поведение вне интервала). Применяются при решении задач движения и устойчивости, оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучшего пути, оптимальной стратерии поведения и т.д. |
,
либо посредством оператора (функционала)
.
(продолжение таблицы)
1 |
2 |
3 |
|
(методов исследования экстремумов функции, вариационного исчисления и т.д.) до современных разделов: математическое программирование, теория игр.
|
Математические теории развиваются на базе аналитических представлений, явились основой ряда прикладных теорий. |
Статистические методы |
Применяются в тех случаях, когда не удается представить систему с помощью детерминированных категорий. Можно применить отображение ее с помощью случайных (стохастических) событий, процессов, которые описываются адекватными вероятностными характеристиками и закономерностями. Статистические отображения системы в общем случае (по аналогии с аналитическими) можно представить в виде «размытой» области в n-мерном пространстве, в которую переводит систему оператор . «Размытая» область характеризует движение системы, границы области заданы с некоторой вероятностью и движение точки определяется некоторой случайной функцией. Закрепляя все параметры, кроме одного, можно исследовать воздействие данного параметра на поведение системы и описать это воздействие |
На базе статистических отображений возникли статистическое программирование, новые разделы теории игр и т.д. Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при применении статистических представлений процесс постановки задачи частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми событиями или |
(продолжение таблицы)
1 |
2 |
3 |
|
статистическим распределением по этому параметру. Аналогично можно получить двумерное, трехмерное и т.д. распределение. На статистических отображениях базируется теория математической статистики, теория статистических испытаний, статистическое имитационное моделирование (например, метод Монте-Карло), теория постановки и проверки статистических гипотез.
|
учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного исследования (по данным выборки) получить статистические закономерности и распространить их на поведение системы в целом. Однако, не всегда можно получить статистические закономерности, не всегда может быть определена представительная выборка, обоснована правомерность статистических закономерностей. В ряде случаев для получения статистических закономерностей требуется недопустимо большие временные затраты. |
|
Теоретико-множественные представления (Г. Контор) базируются на понятиях: множество, элементы множества и отношения на множествах. Систему можно отобразить в виде совокупности разнородных множеств и |
Т.к. при теоретико-множественных представлениях систем и процессов можно вводить любые отношения, эти представления: |
(продолжение таблицы)
1 |
2 |
3 |
Логические методы |
Логические представления переводят реальную систему и отношения в ней на язык одной из алгебр логики, основанных на применении алгебраических методов для выражения законов формальной логики. Наибольшее распространение получила бинарная алгебра логики Буля (булева алгебра). Алгебра логики оперирует такими понятиями как высказывание, предикат, логические операции. В ней доказывают теоремы, приобретающие затем силу логических законов, применяя которые, можно преобразовать систему из одного описания в другое с целью ее совершенствования. Теоремы доказываются и используются в рамках формального логического базиса, который определяется совокупностью специальных правил. Логические методы представления систем относятся к детерминистическим, хотя возможно и их расширение в сторону вероятностных оценок. На базе математической логики созданы и |
Применяются при исследовании новых структур систем разнообразной природы (технических объектов, текстов и т.д.), в которых характер взаимодействия между элементами еще не настолько ясен, чтобы было возможно их представление аналитическими методами, а статистические исследования либо затруднены, либо не привели к установлению устойчивых закономерностей. Логические представления нашли широкое практическое применение при исследовании и разработке автоматов разного рода, автоматичечских систем контроля, а также при решении задач распознавания образов. алгоритмов. На |
(продолжение таблицы)
1 |
2 |
3 |
|
развиваются теории логического анализа и синтеза, теории автоматов. |
Логические представления лежат в основе теории их базе развиваются прикладные разделы теории формальных языков. |
Графические представления |
К графическим представлениям отнесены любые графики (диаграммы, гистограммы и т.д.) и возникающие на основе графических представлений теории (например, теория графов), т.е. все то, что позволяет наглядно представить процессы происходящие в системах. |
Графические представления являются удобным средством с исследования структур и процессов в ложных системах и решения организационных вопросов в информационно-управляющих комплексах, в которых необходимо взаимодействие человека и технических устройств. Широкое применение на практике получила теория сетевого планирования и управления. |