Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Приходько М.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.28 Mб
Скачать

3.2. Статистические оценки параметров генеральной совокупности

При обработке наблюдений редко приходится прибегать к построению эмпирической функций распределения. Анализ условий испыта­ний позволяет предварительно определить тип неизвестной функций распределения – биноминальное, нормальное, равномерное и др. И окончательное уточнение неизвестной функции распределения сводится к определению некоторых числовых параметров генеральной совокупности. Эти параметры определяются приближенно по выборочной модели.

Допустим, что закон распределения генеральной совокупности случайной величины содержит неизвестный параметр . Требуется с помощью выборки найти оценку этого параметра. Очевидно, является случайной величиной. Для того чтобы эта оценка имела практическую ценность, необходимо, чтобы она обладала рядом свойств.

1. Свойство несмещённости.

Математическое ожидание оценки должно совпадать со значением оцениваемого параметра при любом объеме выборки. Это означает отсутствие систематической ошибки одного знака (в сторону занижения: , в сторону завышения: ).

2. Свойство состоятельности.

Оценка должна с увеличени­ем объема выборки по вероятности стремиться к оцениваемому па­раметру, т.е. , .

Это означает, что с увеличением объема выборки практически достоверно, что . Свойство состоятельности обязательно для любого правила оценивания, иначе она не имеет практического смысла, т.к. увеличение объема исходной информации не будет приближать к истине.

3. Свойство эффективности.

Для того чтобы несмещенная оценка параметра была эффективной она должна иметь минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра.

  1. Точечные оценки параметров генеральной совокупности.

  • Несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания генеральной совокупности – генерального среднего является выборочное среднее : .

В случае нормального распределения Х эта оценка является эффективной.

  • Несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии S2 является исправленная выборочная дисперсия:

II. Интервальные оценки параметров генеральной совокупности.

Точечные оценки могут быть приняты в качестве первоначальных ре­зультатов обработки наблюдений. Их недостаток в том, что неиз­вестна точность, с которой они оценивают параметр. Все точечные оценки параметров распределения генеральной сово­купности вычисляется по выборкам, но из-за случайности выборок оценки является случайными величинами, которые могут отличаться от постоянного истинного значения па­раметра.

Если при большом числе опытов точечная оценка (в силу несме­щённости, состоятельности и эффективности) близка к неизвестному параметру, то для выборок небольшого объема вопрос о точности существен.

Пусть - неизвестный пара­метр распределения и - его оценка.

Величина называется точностью оценки. Зададим малое положительное число и условимся, чтобы . Нельзя наверняка утверждать, что это равенство всегда выполняется, т.к. случайная величина. Можно лишь задать некоторую вероятность (надежность оценки), с которой это неравенство выполняется, т.е. .

Интервал называется доверительным интервалом, покрывающим оцениваемый параметр с вероятностью . Величину выбирают близкой к единице: 0,95; 0,99; 0,999. Событие, состоящее в том, что доверительный интервал , где , , накроет исследуемый параметрм – практически достоверное, а границы симметричны относительно соответствующее точечной оценки.

    1. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности: , где выборочное чсреднее, среднее квадратичное отклонение наблюдаемого признака генеральной совокупности, n – объем выборки, величину t находят из условия: значение интегральной функции Лапласа, по этому значению функции из таблиц выбирают t.

Если среднее квадратичное отклонение наблюдаемого признака генеральной совокупности неизвестно, то доверительный интервал: , где , квантиль уровня , значения выбирают из таблиц квантилей распределения Стьюдента.

При n>30 числа t и , найденные по таблицам, практически совпадают.

2) Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенного признака генеральной совокупности по исправленному выборочному среднему квадратичному отклонению : , при ;

при ; – выбирают из таблиц.

Замечание. В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратичного отклонения случайных ошибок измере­ний. Так как обычно результаты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равно­точных измерений), то вопрос о нахождении точности прибора с надежностью сводится к нахождению доверительного интер­вала, покрывающего c заданной надежностью .