Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Необходимость изучения нормально распределенных с.в. вытекает из следующей центральной предельной теоремы Ляпунова.

Если случайная величина Х представляет собой сумму достаточно большого числа независимых, одинаково распределенных случайных величин, причем влияние каждого из слагаемых на всю сумму мало, то закон распределения такой случайной величины близок к нормальному.

Пусть имеется некоторое случайное событие А, вероятность появления которого в каждом из независимых испытаний одинаково и равна р. Производится n независимых испытаний. Случайная величина Х – число появлений события А в n независимых испытаниях. Данная с.в. распределена по биноминальному закону и

M(X) = n  р; D(X) = n р q,

где q = 1 – p = p( ). Если число испытаний велико, а вероятность наступления события А – р > 0, то на основании центральной предельной теоремы Ляпунова можно считать, что с.в. Х распределена по нормальному закону с параметрами а = n р,  = n р q. Тогда, как следует из формулы (30), вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит не менее k₁ и не более k₂ раз может быть вычислено по формуле

(33)

Последняя формула носит название интегральной теоремы Муавра-Лапласа. (Заметим, что в случае редких событий, т.е. для малых вероятностей, нужно пользоваться формулой Пуассона и распределением Пуассона, а при небольшом числе испытаний биноминальным распределением (14)).

Пример 28. В магазин приходит в день 1200 покупателей, каждый из которых с вероятностью p=0.6 покупает электрическую лампочку. Определить вероятность того, что будет куплено от 680 до 760 электрических лампочек.

Решение. Здесь р = 0.6, q = 0.4, n р = 1200  0.6 = 720, n р q = 720  0.4 = 288. Пусть X –число купленных лампочек. По интегральной теореме Муавра – Лапласа получаем

Элементы математической статистики

Математическая статистика разрабатывает способы сбора, группировки и анализа статистических данных, т.е. сведений, получаемых в результате наблюдения некоторой изучаемой случайной величины. При изучении случайной величины обычно имеют дело с совокупностью предметов, подлежащих обследованию относительно некоторого количественного признака Х. Совокупность предметов, подлежащих обследованию называется генеральной совокупностью, число предметов в генеральной совокупности называют объемом генеральной совокупности. Если обследование всей генеральной совокупности невозможно (объем ее слишком велик или даже равен бесконечности, или обследование предмета связано с его уничтожением), то обследуется только часть генеральной совокупности, которая называется выборочной совокупностью или выборкой. Число предметов в выборке называют объемом выборки. Виды и способы отбора могут быть весьма различными, важно только, чтобы выборка хорошо представляла генеральную совокупность, т.е. была репрезентативной (представительной).

Значение признака Х в выборочной совокупности называются вариантами. Пусть значение признака Х равное x₁ встретилось в выборке n₁ раз, x₂ встретилось в выборке n₂ раз, … , x_k встретилось в выборке n_k раз. Числа

называются частотами, объем выборки равен

(34)

числа

(35)

относительными частотами. Соответствие между вариантами и частотами или между вариантами и относительными частотами называется вариационным рядом. Вариационный ряд записывают обычно в виде таблицы:

Таблица 6

x_i	x₁	x₂	…	x_j	…	x_k
n_i	n₁	n₂	…	n_j	…	n_k

Задачей математической статистики является оценка неизвестных параметров распределения с.в. (приближенное определение неизвестной функции распределения, оценка неизвестного математического ожидания и дисперсии, определение зависимости между двумя с.в., проверка статистических гипотез и т.д.).

Определение. Эмпирической функцией распределения (или функцией распределения выборки) называют функцию F(x), определяющую для каждого значения относительную частоту события X<x:

(36)

где число вариант, для которых объем выборки.

Пример 28. Данные по продаже 100 пар мужской обуви в некотором магазине представлены следующим вариационным рядом

Размер ( )	37	38	39	40	41	42	43
Число проданных пар ( )	2	8	12	25	28	17	8
Относительная частота ( )	0.02	0.08	0.12	0.25	0.28	0.17	0.08