15. Варіантні моделі виробничого планування

Зміст задачі: прийняти чи відкинути варіанти з їхнього завчасно відомого сформованого набору, причому прийняти чи відкинути кожний із них цілком – часткові рішення заборонені.

Для побудови моделі варіантної однопродуктової задачі розміщення і спеціалізації виробництва введемо наступні позначення. Нехай:

i – індекс підприємства (пункту виробництва) ;

j – індекс пункту споживання ;

h – індекс варіанта виробничої потужності підприємства ;

– потужність і-го підприємства згідно з h–им варіантом;

– обсяг споживання продукції в j-му пункті споживання;

– сумарні затрати на і-му підприємстві при випуску всієї продукції згідно з h–им варіантом;

– тариф перевезень одиниці продукції з і-го пункту виробництва в j-ий пункт споживання;

– кількість одиниць продукції, яку перевозять з і-го пункту виробництва вj-ий пункт споживання.

Тоді модель задачі буде такою:

(5.15)

(5.16)

(5.17)

(5.18)

(5.19)

(5.20)

Для побудови економіко-математичної моделі варіантних багатопродуктових задач розміщення та спеціалізації виробництва введемо такі позначення:

i– індекс підприємства (пункту виробництва) ;

j– індекс пункту споживання ;

k – індекс виду продукції ;

h – індекс варіанту виробничої потужності підприємства ;

– потужність і-го підприємства з виробництва продукції k-го виду згідно з h–им варіантом;

– обсяг споживання продукції k-го виду в j-му пункті споживання;

– сумарні затрати на і-му підприємстві під час випуску всієї продукції згідно з h–им варіантом;

– тариф перевезень одиниці продукції k-го виду з і-го пункту виробництва в j-ий пункт споживання;

– кількість одиниць продукції k-го виду, яку перевозять з і-го пункту виробництва в j-ий пункт споживання.

Математична модель задачі є такою:

(5.21)

(5.22)

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

16. Задача оптимального вибору технологічних способів

Нехай індекс виду ресурсу,

індекс виду продукції,

індекс технологічного способу,

ціна одиниці виду продукції

запаси виду ресурсу

норми витрат виду ресурсу при одиничній інтенсивності застосування того технологічного способу

кількість продукції виду, що отримують при одиничній інтенсивності застосування того технологічного способу

інтенсивність застосування технологічного способу

Модель в неявному вигляді:

17. Економічна інтерпретація двоїстих оцінок

Існування двоїстих змінних дає можливість співставляти витрати на виробництво і ціни на продукцію, що обґрунтовує висновок про доцільність чи недоцільність виробництва кожного виду продукції.

Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задач). Для того, щоб плани та відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості:

.

Економічний зміст другої теореми двоїстості.

Для оптимального плану прямої задачі:

Якщо оцінка ресурсу (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю, це означає, що для виготовлення всієї продукції в кількості, що визначається оптимальним планом витрати цього ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг , тобто такий ресурс за даних умов для виробництва не є «цінним» і такий ресурс є недефіцитним.

Якщо оцінка строго більша нуля, то витрати ресурсу дорівнюють його кількості , тобто його використано повністю, то він є «цінним» для виробництва і такий ресурс є дефіцитним.

Для оптимального плану двоїстої задачі:

Коли в оптимальному плані прямої задачі кількість продукції дорівнює нулю, тобто всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну , то виробництво такого виду продукції є недоцільним.

Якщо оптимальний план прямої задачі , то витрати на виробництво j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції , тобто виробництво такого виду продукції є доцільним.

Крім цього значення двоїстої оцінки характеризує зміну значення цільової функції, що зумовлена малими змінами вільного члена відповідного обмеження. Дане твердження формулюється у вигляді наступної теореми.

Теорема (третя теорема двоїстості). Компоненти оптимального плану двоїстої задачі дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції по відповідним аргументам , або

(4.13)

Економічний зміст третьої теореми двоїстості. Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає можливість порівняти не порівнювальні речі. Очевидно, неможливим є просте співставлення величин, що мають різні одиниці виміру. Якщо розглянути виробничу задачу, цікавим є питання як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватись в грошових одиницях) при зміні обсягів ресурсів (можуть вимірюватися в тонах; м²; люд./год.; га тощо).

Використовуючи третю теорему двоїстості легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення (зменшення) обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують на яку величину змінюється цільова функція при зміні обсягу відповідного даній оцінці ресурсу .