13. Задачі оптимізації використання взаємозамінних ресурсів

У задачах оптимального використання невзаємозамінних ресурсів у процесі виробництва виділялись ресурси якісно різних груп. У межах однієї групи ресурси вважають однорідними. Насправді ресурси зрідка бувають однорідними. Наприклад, кам’яне вугілля, видобуте з різних родовищ має відмінні характеристики. Так виникають задачі оптимального використання ресурсів у межах однієї групи, або задачі оптимального використання взаємозамінних ресурсів.

Для побудови економіко-математичної моделі задачі на максимум прибутку, за умови використання у виробничому процесі взаємозамінних ресурсів, введемо такі позначення:

i– індекс виду ресурсу в межах певної групи, ;

j – індекс виду продукції, ;

– коефіцієнти затрат ресурсів і-го виду, які використовують у виробництві одиниці продукції j-го виду;

– запас ресурсу і-го виду;

– прибуток від реалізації одиниці продукції j-го виду, яка вироблена з i-го виду ресурсу;

– кількість продукції j-го виду, яку планують виробляти з i-го виду ресурсу.

Математична модель задачі є такою:

(1.8)

(1.9)

(1.10)

Функція мети (1.8) виражає сумарний прибуток від реалізації всієї продукції. Умова (1.9) показує обмеженість ресурсів кожного виду в межах певної групи. Умова (1.10) – умова невід’ємності обсягів виробництва продукції кожного виду.

Щоб побудувати економіко-математичну модель задачі на мінімум собівартості за умови використання у виробничому процесі взаємозамінних ресурсів, до вже введених позначень приєднаємо ще такі позначення:

– верхня і нижня межа виробництва продукції j-го виду;

– собівартість виробництва одиниці продукції j-го виду, виробленої з i-го виду ресурсу.

Математична модель задачі є такою:

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Функція мети (1.11) полягає в мінімізації сумарної собівартості випущеної продукції. Умова (1.12) показує обмеженість ресурсів кожного виду в межах певної групи. Умова (1.13) – умова виконання виробничої програми. Умова (1.14) – умова невід’ємності обсягів виробництва продукції кожного виду.

14. Оптимізація виробничої програми виробництва

З аналізу економіко-математичних моделей вибору оптимальної виробничої програми підприємства випливає висновок по те, що в розроблених моделях слід враховувати всілякі обмеження у різному поєднанні, а саме: контрольні завдання на випуск продукції; структуру обладнання; можливість поповнення обладнання; матеріальні ресурси; трудові ресурси; фонд заробітної плати; технологічні способи; структуру підприємства.

Усі ці фактори мають істотний вплив на формування річного плану підприємства, тому при побудові моделі будемо їх враховувати.

1. Обмеження на обсяг випуску продукції:

а) у натуральних одиницях:

(2.1)

б) у вартісному виразі:

(2.2)

де х_ij - шуканий обсяг випуску виробів і –го виду j -м виробничим способом; - відповідно найменший і найбільший рівень потреби в і –му виробі; P_i- ціна виробу і –го виду; P - товарний випуск продукції у вартісному виразі.

Обмеження по випуску продукції викликані тим, що підприємство як підсистема народного господарства повинно задовольняти народногосподарські потреби в даній продукції. Верхня межа A^max визначається попитом на даний вид продукції, а нижня межа A^min контрольним завданням її випуску.

Якщо організації, що випускають продукцію, задають підприємству загальний обсяг випуску продукції у вартісному виразі, то підприємство матиме більшу свободу вибору обсягових показників; заданий товарний випуск продукції виступає як нижня межа (це показано умовою (2.2).

Обмеження, визначені формулами (2.1) і (2.2) залежно від специфіки виробництва, можна записати разом або окремо. Або навіть їх можна віднести тільки до певних видів продукції.

Двостороннє обмеження (2.1) фактично виступає як дві нерівності:

Для скорочення розмірності моделі і обсягу розрахункових операцій у таких випадках доцільно зробити заміну змінних за правилом

Це стає очевидним після проведення простих перетворень обмеження (2.1):

звідси

Якщо перейти до нових змінних

то другий з цих виразів матиме вигляд:

а перший є алгоритмічним обмеженням, тому додатково записувати його не треба.

У випадку такої заміни змінних необхідно провести відповідні перерахунки і в решті обмежень, і в цільовій функції.

2. Обмеження на фонд часу виробничого обладнання:

(2.4)

де - норма витрат часу обладнання h - ї групи, яке встановлене на l-й дільниці k -го цеху, для проведення робіт над i -м виробом на основі j-го виробничого способу; B^hlk - реальний річний фонд часу роботи обладнання h-ї групи, встановленого на l -й дільниці k - го цеху; B^hlk - реальний річний фонд часу роботи одиниці обладнання h -ї групи, встановленого на l -й дільниці k -го цеху; y^hlk - кількість одиниць додаткового обладнання h -ї групи, яке повинно бути встановлене на l - й дільниці k -го цеху.

У випадку наявності нелімітованого обладнання для скорочення розмірності моделі його можна не брати до уваги. Правда, це пов”язано із значними витратами на перерахунки показників і може бути недоцільним.

Встановити додаткове обладнання можна при наявності вільної виробничої площі. Використання цієї площі можна задати наступним обмеженням.

3. Обмеження на виробничі площі:

(2.5)

де S^h - норма площі на встановлення одиниці обладнання h -ї групи;

S^k - наявна вільна виробнича площа k -го цеху.

4. Обмеження на розмір капіталовкладень:

(2.6)

де P^h - ціна одиниці обладнання h -ї групи; E - обсяг капіталовкладень, призначених для придбання нового обладнання.

5. Обмеження на трудові ресурси:

(2.7)

де - норма витрати часу робітника s -ї спеціальності l -ї дільниці k -го цеху на обробку одиниці виробу i -го виду j -м способом; - реальний річний фонд часу роботи робітників s -ї спеціальності l -ї дільниці k-го цеху; - річний реальний фонд часу роботи одного робітника s -ї спеціальності l -ї дільниці k -го цеху; - додаткова кількість робітників s -ї спеціальності l -ї дільниці k -го цеху.

6. Обмеження на фонд заробітної плати:

(2.8)

де r_s - заробітна ставка робітника s -ї спеціальності за одиницю часу; - середня річна заробітна плата робітника s -ї спеціальності; Ф - фонд заробітної плати.

7. Обмеження на матеріали:

(2.9)

де - норма витрат матеріалу -го виду на одиницю виробу і -го виду, який обробляють j -м способом; - ліміт матеріалу -го виду; -шукане значення додатково закупленого матеріалу -го виду.

8. Обмеження на грошові ресурси, виділені на придбання матеріалу:

(2.10)

де - ціна одиниці матеріалу виду ; - фонд грошових ресурсів, що виділені на придбання матеріалів.

У випадку закупівлі всього лімітованого матеріалу, перший доданок в обмеженні (2.10) не беремо до уваги, а в грошових фондів значення зменшується на суму, сплачену за весь лімітований матеріал. Це обмеження набуває тоді вигляду:

(2.11)

Визначаємо критерій оптимальності. Максимізація сумарного прибутку матиме вигляд:

(2.12)

де C_ij - повна собівартість виготовлення одиниці виробу i -го виду j -м виробничим способом.

Задача оптимізації річного плану підприємства може підпорядковуватись не тільки критерію (2.12). Іншими критеріями оптимальності для даної задачі можуть бути такі:

а) мінімізація сумарної собівартості продукції підприємства:

(2.13)

б) Мінімізація сумарної трудомісткості випуску продукції:

(2.14)

в) Максимізація товарної продукції у вартісному виразі:

(2.15)

г) Максимізація рівня рентабельності:

(2.16)

(тут F - вартість основних фондів; e_ij - норматив нормованих оборотних засобів на i -й виріб, виготовлений j -м виробничим способом).