35.Антагонистические игры.

Прежде всего, надо уметь находить верхнюю и нижнюю цены игры, т.к. достаточно много игр решается в чистых стратегиях.

Найти нижнюю и верхнюю цены игры для матрицы

Ai	Bj			αi α=max αi
	B1	B2	B3
A1	0.4	0.6	0.8	0.4
A2	1.1	0.7	0.9	0.7
A3	0.7	0.3	0.5	0.3
βJ β = min βJ	1.1	0.7	0.9

Для этой матрицы видно, что α = β = 0,7 = (А₂, В₂).

Общее значение нижней и верхней цены игры α = β = ν называется чистой ценой игру. Седловой точке соответствует пара минимаксных стратегий, эти стратегии называются оптимальными, а их совокупность - решением игры.

Если седловой точки нет, то можно применить графический способ или составить модель и решить симплекс-методом.

Геометрический способ решения антагонистических игр

Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Иногда возможно упростить игры, применяя следующие принципы:

1. Игрок А стремится увеличить свой выигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо дают ему меньшие суммы;

2. Игрок В стремится уменьшить свой проигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо отнимают большие суммы.

Р ассмотрим платежную матрицу

7	6	5	4	2
5	4	3	2	3
5	6	6	3	5
2	3	3	2	4

Упростим матрицу, вычеркивая заведомо невыгодные стратегии игроков.

Путем упрощения, ее можно свести к матрице (2 * 2)

ВJ АJ	В1	В2
A1	4	2
A2	3	5

р₁ - вероятность применения игроком А стратегии A₁;

р₂ - вероятность применения игроком А стратегии A₂.

Так как р₁+ р₂=1, то р₂=1- р₁. Тогда получим:

Чистые стратегии игрока В	Ожидаемые выигрыши игрока А
В1	4 р1+3 р2= (4-3)р1+3=р1+3
В2	2 р1+5 р2=(2-5)р1+5=-3р1+5

На оси Ох разместим точки р₁=0 и р₁=1, через которые проведем прямые, перпендикулярны оси Ох. Подставляя р₁=0 и р₁=1 в выражение р₁+3, найдем значения, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.

Аналогично рассмотрим выражение -3р₁+5.

Оптимальная стратегия первого игрока найдется из равенства выражений

р₁+3 и -3р₁+5: р₁= р₂=0,5. S_A = (0,5; 0; 0,5; 0), при этом цена игры равна 3,5.

Для второго игрока оптимальная стратегия ищется аналогично.

Если же игра не сводится путем упрощения к 2 x n или m x 2, то составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.