Общее уравнение прямой. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Общее уравнение прямой на плоскости.
Рассмотрим на плоскости Оху произвольную
прямую L. Пусть дана некоторая ее точка
М1(х1у1) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный
рассматриваемой прямой. Этот вектор
называется нормальным вектором прямой.
Точка М1 и нормальный вектор N вполне
определяют положение прямой L на плоскости
Оху. Пусть М(х,у) - любая точка прямой L .
По условию, вектор N перпендикулярен
вектору
,
лежащему на этой прямой. Поэтому скалярное
произведение (N,
)=0,
или в координатной форме А(х–х1)+В(у–у1)=0.
Раскроем скобки:
Ах+Ву+(-Ах1–Ву1)=0.
В скобках получаем некоторое число, так как А и В числовые коэффициенты, а х1 и у1 - координаты точки и, если это число обозначим С, то получится общее уравнение прямой на плоскости:
Ах + Ву + С = 0.
Каноническое уравнение. Далее, положение
прямой L на плоскости вполне определяется
заданием какой-либо ее точки М(х1,у1) и
вектора S=mi+nj, параллельного L или лежащего
на ней. Этот вектор называется направляющим
вектором прямой L. Пусть М(х,у) - произвольная
точка прямой L. Так как векторы
и S=mi+nj коллинеарны (по условию), то их
координаты пропорциональны. Следовательно,
каноническое уравнение прямой имеет
вид
Параметрическое уравнение прямой на плоскости:
или
Здесь Aо = (хо, уо) – некоторая точка на
прямой (начальная), а
= (α,β) – некоторый ненулевой вектор
(направляющий). Выражая t, получаем
каноническое уравнение прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
Каноническое уравнение. Далее, положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х1,у1) и вектора S=mi+nj, параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называется направляющим вектором прямой L. Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой L. Так как векторы и S=mi+nj коллинеарны (по условию), то их координаты пропорциональны. Следовательно, каноническое уравнение прямой имеет вид
Параметрическое уравнение прямой на плоскости:
или
Здесь Aо = (хо, уо) – некоторая точка на прямой (начальная), а = (α,β) – некоторый ненулевой вектор (направляющий). Выражая t, получаем каноническое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Рассмотрим прямую L. Ее положение вполне
определяется заданием угла
и точки М(х1,у1), лежащей на этой прямой.
В качестве направляющего вектора возьмем
единичный вектор
(его длина
).
Следовательно,
и
.
Тогда каноническое уравнение прямой
будет иметь вид:
или
Обозначив
получим у-у1=k(х–х1) – это уравнение
прямой с угловым коэффициентом.
Угол между двумя прямыми.
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми
можно принять угол между их направляющими
векторами 
и 
.
Так как 
,
то по формуле для косинуса угла между
векторами получим
.