30. Теорема о пределе промежуточной переменной.

Если   на    и существуют   и   и их значения конечны и равны, то существует предел промежуточной функции   и его значение совпадает со значением пределов оценивающих слева и справа функций.

31. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функции.

Пусть а – число. Функция у=f(x) задана в некоторой проколотой окрестности точки а, т. е. при Точка а не обязательно входит в D(f). Рассмотрим ряд последовательностей {хn}, значения которых лежат в области определения f(x) ( ) и таких, что Для каждой такой последовательности хn построим последовательность уn=f(xn).

Если все последовательности {уn} имеют пределы, эти пределы совпадают между собой и равны некоторому b, то говорят, что функция f(x) при x, стремящемся к а, имеет предел, равный b. В противном случае говорят, что функция f(x) при x, стремящемся к а, не имеет предела.

Опр. 1. Число b называется пределом функции f(x) в точке х=а, если для любой последовательности хn, сходящейся к а ( при любом n), последовательность соответствующих значений функции у=f(xn) сходится и ее предел равен b. Кратко пишут f(x)=b.

Пусть функция f(х) определена на бесконечном промежутке (а, ∞).

Опр. 2. Число b называется пределом функции f(x) при х→+∞, если для любой положительной бесконечно большой последовательности хn, последовательность соответствующих значений функции у=f(xn) сходится и ее предел равен b. Кратко пишут f(x)=b.

Основные теоремы о пределах функций.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.

3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.

4. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции (постоянный множитель выносится за знак предела).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю). Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то отношение стремиться к бесконечности.

32. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Опр. 1. Если любая последовательность хn→а, хn<а (а–число или символ -∞) при любом , то говорят, что функция f(x) при х→а-0 (слева) имеет левый односторонний предел Говорят, что функция f(x) при хn→а+0 (справа) имеет правый односторонний предел если функция f(х) была определена правее точки а, и любая последовательность хn→а, хn>а (а–число или символ +∞) при любом .

Если f(х) имеет в точке а (а – число) односторонние пределы f(a-0) и f(a+0) и f(a-0)=f(a+0)=b (b – число или один из символов - ∞ или + ∞), тогда f(x) имеет в точке а обычный (двусторонний) предел Если односторонние пределы различны, т.е. f(a-0)≠f(a+0), то не существует предела функции при х→а.

Опр. 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если функция имеет конечный предел в точке а и этот предел совпадает со значением функции в этой точке, т. е.

Опр. 2. Функция называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теорема 1. Основные элементарные функции непрерывны в областях их определения.

Пусть функция b1 – левосторонний предел функции f(x) в точке х=а, b2 – правосторонний предел функции f(x) в точке х=а. Рассмотрим функцию у=f(x), определенную на интервале X, кроме, быть может, точки . Точка а называется точкой разрыва данной функции, если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке.

В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают три основных вида разрывов.

Опр. 1. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если существует конечный , но либо функция не определена в точке а, либо

Опр. 2. Разрыв I рода – в этом случае существуют конечные пределы и , но Величина |b2–b1| называется скачком.

Опр. 3. Разрыв II рода — в этом случае хотя бы один из пределов и не существует или бесконечен.