§11. Площади фигур Урок 11.1

Тема: Равносоставленные фигуры.

Цель: Научиться доказывать, что площади фигур равны, разре- зая их на определенные части и доказывая, что эти фигуры равносо- ставлены.

Задачи 11.1–11.6.

1. Покажите, что у пятиугольной звезды на рис. 70 закрашена ровно половина площади.

Рис. 70 Рис. 71

2. В правильном выпуклом восьмиугольнике провели две па- раллельные диагонали (рис. 71). Докажите, что площадь черной части равна площади белой части.

3. Пусть MN — средняя линия треугольника ABC; MK и NH — перпендикуляры к стороне АC (рис. 72). Докажите, что площадь за- крашенной части треугольника равна площади не закрашенной части.

4. Листок календаря частично закрыт предыдущим листком, как показано на рис. 73. Какая часть нижнего листка больше по пло- щади, открытая или закрытая?

5. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника рав- ны и параллельны. Соединим его вершины диагоналями через одну, как показано на рис. 74. Площадь какой части больше, черной или белой?

Рис. 72 Рис. 73

Рис. 74

6. Известно, что для некоторого выпуклого шестиугольника

AB₁CA₁BC₁ выполнены равенства

AB₁ = B₁C, CA₁ = A₁B, BC₁ = C₁A,

ƒ _{A +} ƒ _{B +} ƒ _{C =} ƒ _{A1 +} ƒ _{B1 +} ƒ _C1.

Докажите, что площадь треугольника A₁B₁C₁ составляет половину площади всего шестиугольника.

Урок 11.2

Тема: Площади фигур.

Цель: Научиться доказывать равенство площадей фигур, исполь- зуя некоторые стандартные приемы (например, равносоставленность). Задачи 11.7–11.9 — основные, задачи 11.10, 11.11 — дополни-

тельные.

7. Сэр Артур заказал художнику рисунок для своего щи- та, имеющего форму четверти круга, попросив раскрасить его в три

цвета: желтый — цвет щедрости, крас- ный — храбрости и синий — мудрости. Когда художник принес раскрашенный щит (рис. 75), то оруженосец заметил, что на рисунке храбрости больше, чем мудрости. Однако художник смог дока- зать, что это неверно, и что мудрости и храбрости поровну. Как он это сделал?

8. На соседних сторонах прямо-

Рис. 75

угольника выбрали по точке (A и B) про- извольно. Точки A и B соединили с вер-

шинами прямоугольника, как указано на рис. 76. Покажите, что сумма площадей трех серых участков равна площади черного участка.

Рис. 76 Рис. 77

9. В прямоугольнике произвольным образом взяты точки A и B, они соединены с вершинами прямоугольника, как показано на рис. 77. Докажите, что сумма площадей серых частей равна сумме пло- щадей черных.

10. Как в треугольнике ABC провести ломаную BDEFG (рис. 78), чтобы все пять полученных треугольников имели равные площади?

11. Внутри большего квадрата расположен меньший, сто- роны которого параллельны соответствующим сторонам большего. Отрезками соединили вершины квадратов, как показано на рис. 79.

Докажите, что площадь заштрихованных трапеций равна площади не заштрихованных.

Рис. 78 Рис. 79