Урок 7.3

Тема: Раскраска помогает решать задачи.

Цель: Совершенствовать навыки решения задач на разрезание с помощью удачно выбранной раскраски.

Задачи 7.11–7.15.

11. На какое наименьшее число прямоугольников можно разре- зать фигуру, изображенную на рис. 51, если резать разрешается только по сторонам клеток?

12. Можно ли шестиугольный торт (рис. 52) разрезать на 23 рав- ных куска по указанным линиям?

Рис. 52 Рис. 53

13. З´амок имеет форму правильного треугольника, разбитого на 49 одинаковых залов, каждый из которых тоже имеет форму пра- вильного треугольника (см. рис. 53). В стене между любыми двумя залами есть дверь. Путник хочет обойти как можно больше залов, не заходя ни в один дважды. Какое наибольшее количество залов ему удастся обойти?

14. Можно ли замостить шашечную доску 10 × 10 плитками размером 4 × 1?

15. а) Докажите, что если прямоугольник клетчатой бумаги размерами m × n разрезали на полоски 1 × 5, то хотя бы одно из чисел

m, n делится на 5.

б) Известно, что прямоугольник клетчатой бумаги размерами

m × n разрезали на полоски 1 × 6. Докажите, что хотя бы одно из

чисел m, n делится на 6.

в) Известно, что прямоугольник клетчатой бумаги размерами

m × n разрезали на полоски 1 × k. Докажите, что m или n делится

на k.

§8. Задачи с раскраской в условии Урок 8.1

Тема: Задачи с раскраской в условии.

Цель: Развить комбинаторные навыки. Формировать понятие об оптимальном решении.

Задачи 8.1–8.6 (1). Задачи 8.6 (2), 8.7 — на дом.

1. Раскрасьте клетки таблицы 3 × 3 в наибольшее число цветов

(каждую клетку — одним цветом) так, чтобы для любых двух цветов

нашлись клетки этих цветов, имеющие общую сторону.

2. В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки доски 4 × 4 (каждую клетку — одним цветом) так, чтобы в каждом квадрате 2 × 2 нашлась пара клеток одного цвета?

3. В какое наибольшее число цветов можно раскрасить доску

8 × 8 клеток так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с

двумя клетками своего цвета? Каждая клетка закрашивается целиком

в один цвет.

4. Расставьте крестики и нолики в квадрате 5 × 5 клеток так, чтобы в каждой строке (кроме, быть может, первой) крестиков было

бы больше, чем ноликов, и в каждом столбце (кроме, быть может, последнего) ноликов было бы больше, чем крестиков. Пустых клеток быть не должно<

5. Дан квадрат 5 × 5 клеток. Закрасьте некоторые клетки белой краской, а остальные черной так, чтобы в любом квадрате 3×3 клетки

оказалось ровно 8 белых клеток.

6. 1) Дан квадрат клетчатой бумаги 4×4 клетки. Каждая клетка

окрашена одним цветом. Никакие две клетки, стоящие в одном ряду

(по горизонтали, по вертикали или по диагонали длины от 2 до 4) не могут быть одного цвета. Какое наименьшее число цветов необходимо для такой раскраски?

2) Решите аналогичную задачу для квадрата 5 × 5.

7. Взяли квадрат клетчатой бумаги 6 × 6 клеток. Придумайте

раскраску клеток в четыре цвета так, чтобы любые две клетки, между

которыми ровно одна клетка (по горизонтали, вертикали или диагона- ли), были покрашены в разные цвета. Соседние клетки можно красить в один цвет.