3.2 Частотні характеристики замкнутої системи
Частотні характеристики (ЧХ) показують залежність вихідної величини від вхідної, коли вхідна змінюється за синусоїдальним законом [6, 7].
Основними частотними характеристиками САК є:
1. амплітудна частотна характеристика (АЧХ), фазова частотна характеристика (ФЧХ);
2. амплітудно-фазова частотна характеристика (АФЧХ);
3. логарифмічна амплітудна частотна характеристика (ЛАЧХ), логарифмічна фазова частотна характеристика (ЛФЧХ)
4. дійсна частотна характеристика (ДЧХ), уявна частотна характеристика (УЧХ).
Частотні характеристики – це залежності певних характеристик системи від частоти . Всі ці характеристики виводяться з передаточної функції системи.
Якщо ланка є лінійною, то при подачі на її вхід гармонійного синусоїдального сигналу виду
хвх.(t)=А1sint (22)
з амплітудою А1 і частотою , на виході буде також гармонійний синусоїдальний сигнал тієї ж частоти але з амплітудою А2 і зсунутий по фазі на кут :
хвих.(t)=А2sin(t+). (23)
Зсув фаз визначається динамічними характеристиками системи.
Запишемо рівняння (22) та (23) в показниковій формі:
. (24)
Знайдемо відношення:
(25)
У випадку, коли амплітуда залишається постійною величиною А1 = const, а частота змінюється з певним кроком , тоді отримуємо експериментальний шлях одержання частотних характеристик. Тобто відношення амплітуд та зсув фаз є функціями частоти.
Як відомо, передаточна функція є функцією комплексного числа
(26)
Якщо
накласти умову:
,
тоді передаточна функція
вироджується
в функцію уявної частоти:
.
, (27)
де — це АФЧХ системи, тобто характеристика, яка одночасно характеризує амплітуду та фазу системи.
Отже, АФЧХ – це:
. (28)
Побудова годографа АФЧХ. Функцію комплексної змінної , як і будь-яку іншу функцію, можна записати в алгебраїчній
(29)
та показниковій формах:
, (30)
де
– дійсна частотна характеристика (ДЧХ);
– уявна
частотна характеристика (УЧХ);
– амплітудна
частотна характеристика (АЧХ);
– фазова
частотна характеристика (ФЧХ).
Як видно з (29) та (30), пари характеристик АЧХ та ФЧХ, ДЧХ та УЧХ містять ту саму інформацію, що і АФЧХ системи, тобто повністю характеризують динамічні властивості системи [9, 10].
Між наведеними частотними характеристиками існує такий взаємозв’язок:
(31)
Способи побудови годографа АФЧХ. Побудова для варіанту представлення АФЧХ рівнянням (30): змінюючи частоту , знаходимо декілька значень А() і () (таблиця 1). На комплексній площині для кожної проводимо промінь під кутом (), на якому відкладаємо довжину А(). Множина точок дає годограф АФЧХ (рисунок 9).
Таблиця 1 – Розрахункові точки побудови годографа АФЧХ
|
1 |
2 |
… |
n |
А() |
А(1) |
А(2) |
А(…) |
А(n) |
() |
(1) |
(2) |
(…) |
(т) |
Рисунок 9 – Годограф АФЧХ
Побудова для варіанту представлення АФЧХ рівнянням (29): змінюючи частоту від 0 до , знаходимо декілька значень P() і Q() (таблиця 2), які відкладаємо на комплексній площині (рисунок 10).
Таблиця 2 – Розрахункові точки побудови годографа АФЧХ
|
1 |
2 |
… |
n |
P() |
P(1) |
P(2) |
P(…) |
P(n) |
Q() |
Q(1) |
Q(2) |
Q(…) |
Q(т) |
Рисунок 10 – Годограф АФЧХ
В ТАК широко використовуються логарифмічні частотні характеристики (ЛЧХ) (рисунок 11): логарифмічна амплітудна частотна характеристика (ЛАЧХ) L(ω) і логарифмічна фазочастотна характеристика (ЛФЧХ) φL(ω).
Вони отримуються шляхом логарифмування передаточної функції:
. (32)
При дослідженні САК, амплітудну й фазову частотні характеристики зручно будувати в логарифмічних координатах. Це пов'язано із двома обставинами [4, 12]:
1. у логарифмічних масштабах кривизна характеристик різко зменшується, що дозволяє в більшості практичних випадків приблизно зображувати АЧХ ламаними лініями.
2. у логарифмічних масштабах АЧХ кола ланок дорівнює сумі АЧХ окремих ланок:
. (33)
ЛАЧХ одержують з першого доданка, що з міркувань масштабування множиться на 20, і використовують не натуральний логарифм, а десятковий, тобто L(ω) = 20lg(ω). Величина L(ω) відкладається по осі ординат у децибелах. Зміна рівня сигналу на 10 дб відповідає зміні його потужності в 10 разів. Так як потужність гармонійного сигналу Р пропорційна квадрату його амплітуди А, то зміні сигналу в 10 разів відповідає зміна його рівня на 20дб, оскільки:
. (34)
Рисунок 11 – Логарифмічні характеристики
По осі абсцис відкладається частота ω у логарифмічному масштабі. Тобто одиничним проміжкам по осі абсцис відповідає зміна ω в 10 разів. Такий інтервал називається декадою. Оскільки lg(0) = -∞, то вісь ординат проводять довільно.
ЛФЧХ, одержана із другого доданка, відрізняється від ФЧХ тільки масштабом по осі ω. Величина φ(ω) відкладається по осі ординат у градусах або радіанах. Для елементарних ланок вона не виходить за межі: -π≤φ≤+π.
ЧХ є достатніми характеристиками системи. Знаючи ЧХ системи можна відновити її передатну функцію й визначити параметри.
Для наповнення даного підрозділу курсової роботи необхідно знайти математичні вирази та побудувати всі частотні характеристики замкнутої системи. Для цього необхідно підставити в передаточну функцію замкнутої системи Wз(p) змінну jω замість p, одержимо АФЧХ W(jω). Потім слід виразити із отриманого рівняння АФЧХ її ДЧХ P(ω) і УЧХ (Q(ω). Після цього перетворють АФЧХ у показникову форму й отримують АЧХ A(ω) і ФЧХ φ(ω), а потім визначають вираз ЛАЧХ L(ω)=20lgА(ω) (ЛФЧХ відрізняється від ФЧХ тільки масштабом осі абсцис).