4 Визначення стійкості та якості системи

Основною динамічною характеристикою автоматичної системи керування є її стійкість. Під стійкістю мається на увазі властивість системи повертатися до свого попереднього стану рівноваги після зняття дій збурення, котре вивело систему із стану початкової рівноваги [1, 4, 14].

В залежності від характеру перехідного процесу лінеаризованої системи розрізняють три основні випадки поведінки системи після дії типової збурюючої дії:

1) Система не може відновити стану рівноваги, значення керованої змінної все більше відхиляється від заданного значення. Подібний процес називається розбіжним, а система – нестійкою.

2) Система повертається до стану рівноваги, значення керованої змінної відрізняється від заданого на величину статичної похибки системи. Такий перехідний процес буде збіжним, а система – стійкою;

3) Система характеризується сталим періодичним рухом із постійним значенням амплітуди коливання та частотою. Такий процес характеризується незгасаючими коливаннями, а система в такому разі перебуває на межі стійкості.

Розрізняють стійкість “в малому”, “в великому”, “в цілому” або абсолютна стійкість. Система стійка “в великому”, якщо визначено межі області можливих відхилень, в яких система повертається в початкове положення і відомо, що початкові відхилення системи не виходять за межі цієї області (рисунок 14).

Рисунок 14 – Варіанти стійкості системи

Система стійка “в малому”, якщо межі області стійкості не визначені, а вказано лише факт її наявності.

Система стійка “в цілому” чи абсолютно стійка, якщо вона повертається в початкове положення рівноваги за будь яких початкових відхилень. Система, стійка “в цілому”, завжди є стійкою “у великому” і “в малому”.

Система стійка “в великому”, є стійкою “в малому”. Якщо система лінійна, то система стійка “в малому”, стійка і “в цілому”. Якщо система нелінійна, то вид стійкості слід доводити окремо [4].

Для судження про стійкість лінійних систем досить дослідити і визначити стійкість «в малому», тобто знайти стійкість за рівняннями у формі збільшень. При цьому судити про стійкість можна по кореням характеристичного рівняння замкнутої системи.

Якщо динаміка системи точно описується лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами, то стійкість «в малому» забезпечує необмежену стійкість системи. Нелінійні системи, які описуються нелінійними диференційними рівняннями, можуть бути стійкими при малих збуреннях і нестійкими при великих.

Процеси, що відбуваються в більшості реальних систем, описуються нелінійними диференціальними рівняннями, які для спрощення дослідження можуть бути лінеаризованими. Тоді дослідження реальної системи заміниться дослідженням лінеаризованої системи [8].

4.1 Перевірка стійкості системи за критерієм Найквіста

Амплітудно-фазовий критерій стійкості Найквіста дозволяє судити про стійкість замкнутої системи по виду амплітудно-фазової частотної характеристики системи в розімкнутому стані. Розрізняють формулювання критерію для випадків, коли система в розімкнутому стані стійка і нестійка [1, 15].

Для першого випадку критерій стійкості формулюється таким чином: САР, стійка в розімкнутому стані, буде стійка в замкнутому стані, якщо АФЧХ розімкнутої системи не охоплює точку на комплексній площині з координатами (-1, j0) (рисунок 15).

Рисунок 15 – АФЧХ розімкнутої системи

На рисунку 15 показані амплітудно-фазові частотні характеристики статичних (а) і астатичних (б) систем. Амплітудно-фазові характеристики 1 не охоплюють критичну точку, тому системи, що мають ці характеристики, стійкі. Амплітудно-фазові частотні характеристики 2 охоплюють точку з координатами (-1, j0), тому системи 2 нестійкі. Амплітудно-фазові частотні характеристики 3 проходять через критичну точку, тому відповідні системи знаходяться на межі стійкості.

Формулювання частотного критерія Найквіста: система автоматичного керування, стійка в розімкнутому стані, буде стійка в замкнутому стані, якщо АФЧХ розімкнутої системи не охоплює критичну точку з координатами (-1, j0).

На рисунку 16, а зображений випадок так званої абсолютно стійкої системи. Цей термін означає, що система залишається стійкою при будь-якому зменшенні коефіцієнта посилення розімкнутої ланцюга.

Рисунок 16 – Годографи АФЧХ для різних варіантів систем

На рисунку 16, б зображено випадок умовно стійкої системи. Тут система буде стійкою при значеннях загального коефіцієнта підсилення, що лежить в деяких межах. Як збільшення, так і зменшення загального коефіцієнта посилення k може привести до охоплення годографом точки (-1, j0), що буде відповідати нестійкості системи в замкнутому стані.

На рисунку 16, в зображено випадок, коли система знаходиться на межі стійкості. Межа стійкості буде коливального типу. Це випливає з того, що при деякій частоті, при якій годограф перетинає точку (-1, j0), має місце рівність W(jω) = -1 + j0, що може бути записано у вигляді

. (57)

Останній вираз являє собою характеристичне рівняння, яке згортається в нуль при підстановці р = jω. Таким чином, чисто уявний корінь є рішенням характеристичного рівняння.

На рисунку 16, г зображений випадок нестійкої системи.