Параграф 1.7: Преобразования Фурье.

С помощью экспонентациального или тригонометрического ряда Фурье можно представить либо периодическую функцию на интервале , либо временную на интервале  . Желательно было бы иметь любую периодическую или непериодическую функцию на бесконечном интервале. Для решения этой задачи рассмотрим финитную функцию f_T(t) длительностью Т, которая может быть представлена в виде экспонентациального ряда Фурье

(*)

(**)

Введем новые обозначения:

С их учетом (*) и (**) представим в виде:

(***)

(4*)

Подставив в формулу (***) , получим:

(5*)

Предположим теперь, что . С увеличением Т уменьшается (частота первой гармоники), спектр становится плотнее. Как видно из (**), амплитуда F_n отдельных спектральных составляющих при этом уменьшается, но форма частотного спектра, определяемая соотношением этих составляющих, остается неизменной. В пределе при амплитуда спектральных составляющих становится бесконечно малыми, но при этом частоты спектральных составляющих приближаются друг к другу ( , они отличаются на ). Спектр существует на любой частоте, и из дискретных функций частоты превращаются в непрерывный. При этом (5*) и (4*) преобразуются:

(6*)

(7*)

Выражения (6*) и (7*) называются соответственно обратным и прямым преобразованием Фурье. Равенство (6*) представляет непериодическую функцию f(t) как непрерывную сумму экспонентациальных функций с частотами из интервала . Амплитуда составляющей на любой частоте пропорциональна , поэтому характеризует плотность распределения функции f(t) по частотам гармоник, и называется функцией спектральной плотности. Если исследуем сигнал напряжения, то имеет размерность . Из выражения (7*) видно, что является комплексной функцией частоты, поэтому её называют комплексным спектром сигнала f(t). Модуль

называется спектром амплитуд, а аргумент

– спектром фаз. Если бы в исходной функции наших рассуждений мы записали бы разложение не в экспонентациальном, а тригонометрическом ряде Фурье, то аналогичным образом могли бы прийти к понятиям действительных спектральных плотностей и : результатов аналогичных предельных переходов коэффициентов a_n и b_n тригонометрического ряда Фурье. Так же приведенные преобразования могут быть выполнены по отношению к другим базисным функциям, что позволяет распределить разложение функции в обобщенный ряд Фурье на бесконечном интервале.

Параграф 1.8: Свойства преобразования Фурье.

Приведем без доказательства основные свойства преобразования Фурье. Введем обозначения – преобразования Фурье функции f(t).

1. Свойство линейности: если , то .

2. Свойство изменения масштаба: если , то для любой действительной постоянной а преобразования Фурье: .

3. Свойство частотного сдвига: если , то

Следствие из 3 свойства:

• 

• 

4. Свойство временного сдвига: если , то .

5. Дифференцирование и интегрирование во времени: если , то ; .

6. Теорема о свертке: если и , т.е. (это свертка), то преобразование Фурье от : (в частотной области).

7. Теорема произведения: если , , , , то представляет собой свертку спектров и , т.е. ( имеет размерность частоты).

Замечание:

Если в качестве аргументов спектральной плотности фигурирует не круговая, а обычная частота , то множитель в последнем выражении отсутствует.