Параграф 1.3: Спектральное представление сигналов

Возможность аппроксимации сигналов суммы 1.2.7. (**) его ортогональных составляющих, взятых с коэффициентами C_i, составляет основу спектрального представления сигналов. Сущность его заключается в том, что форма сигнала задается не в виде непосредственного математического описания характера изменения мгновенных значений во времени с помощью функции f (t), а путем указания полного набора значений коэффициентов C_i в разложении 1.2.7. (**) (или его усеченном варианте) при соответствующих базисных функциях совокупностью значений этих коэффициентов, и называется спектром сигнала. Очевидно, что спектр сигнала зависит как от формы сигнала f (t), так и от выбранного ортогонального базиса . При фиксированном базисе спектр в соответствие с 1.2.7. (**) однозначно определяет вид f (t). Существует практическое применение достаточно большого разнообразия различных ортогональных базисов. Так, в качестве базисов могут использоваться наборы степенных полиномов определенного вида (полиномы Лагранжа, взвешенные полиномы, полиномы Чебышева и др.), набор дискретных по значению, ортонормированных на интервале [0, T] Уолша, тригонометрические и комплексные экспонентациальные функции, функции отсчетов.

Первые функции Уолша имеют вид:

Достоинством полиномиальных ортогональных базисов является наиболее быстрая сходимость ряда 1.2.7. (**) при их использовании. Для достижения заданной точности аппроксимации здесь требуется меньшее количество членов ряда. Поэтому они находят применение в задачах синтеза фильтров с заданными частотными характеристиками.

Дискретные базисы Уолша находят применение при описании дискретных по уровню (квантованных) сигналов. Функции отсчетов используют при описании непрерывных сигналов их дискретным отсчетам¹. Наиболее значение в современной информационной технике в качестве ортогонального базиса получил набор гармонических (синусоидальных, косинусоидальных, комплексных, экспонентациальных функций). Главной этого является тот факт, что гармонические колебания являются единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь с постоянными параметрами, изменяется лишь амплитуда и фаза колебаний. Кроме того, спектральное представление сложных сигналов в гармоническом базисе имеют много общего с их операторным представлением на базе преобразования Лапласа, что также очень удобно. Важным фактором является так же и то, что техника генерирования гармонических сигналов на практике относительно проста. Эти достоинства привели к исключительно широкому распространению гармонического базиса практически во всех отраслях современной науки и техники. Поэтому, в литературе понятие спектра в гармоническом базисе обычно дается без указаний базиса. Если же имеется в виду какой-либо другой базис, то он обязательно оговаривается.

Параграф 1.4: Тригонометрический ряд Фурье

Можно показать, что гармонический базис, основанный на использовании тригонометрический функций и (n = 0, 1, 2, 3, …) является ортогональным на интервале  . В соответствие с выражением для обобщенного ряда Фурье, интегрируемая в квадрате функция f (t) может быть представлена на этом интервале в виде ряда:

Введем обозначение , тогда:

(*)

Выражение (*) представляет собой тригонометрическую форму ряда Фурье.

Коэффициенты a_n и b_n вычислим по формулам обобщенного ряда Фурье:

(**а)

(**b)

Если в формуле (**а) положить n = 0, то .

Поскольку при интеграл , следовательно, , .

Из формулы для а₀ следует, что первый член ряда а₀ есть среднее значение или постоянная составляющая (нулевая гармоника) функций f(t) на том интервале. Полагая в формуле (*) , её можно записать в виде:

(***)

Где (из системы)

Представление ряда Фурье в (***), называемой амплитудно-фазовой, позволяет выделить спектр амплитуд (совокупность а₀ и С_n) и спектр фаз (совокупность углов ).