1.2.5: Операторы и функционалы.

В задачах преобразования сообщения и сигнала нам потребуется некоторое обобщение функциональных зависимостей. Величина называется функцией независимой переменной х, если каждому значению из множества его возможных значений соответствует определенное значение y. Иначе говоря, функциональная зависимость y = f(x) устанавливает соответствие между некоторым множеством чисел х и множеством y. Т.о., функция устанавливает зависимость одного числа от другого. Более общим понятием является понятие функционала – устанавливает соответствие между множеством чисел с одной стороны и некоторым множеством функций с другой. Можно сказать, что функционал Ф («фи») устанавливает зависимость числа от функций y = Ф (f(x)). Пример функционала – определенный интеграл, величина которого при неизменных пределах зависит от вида подынтегральных функций. Очень полезным является понятие функционального оператора, устанавливающего соответствие между двумя множествами функций. С помощью оператора L устанавливается зависимость функции y(t) от функции x(t): y(t) = L x(t). Т.к. функции могут быть представлены векторами , и множество функций определяется как векторное пространство, то действие оператора может быть описано в геометрическом термине как преобразование X-векторов пространства Y – векторов . Обратное преобразование Y в X обозначают L^-1. В задачах преобразования сообщения в сигналы используется линейные и нелинейные параметрические операторы.

1.2.6: Ортогональность элементов в пространстве.

Если скалярное произведение двух элементов и равно 0, то элементы и называются ортогональными. В геометрическом пространстве векторов ортогональность означает, что проекция одного вектора на другой равна 0, т.е. вектора перпендикулярны. Подмножество элементов называется ортогональной проекцией, если любые два его элемента попарно ортогональны, т.е.:

Элементы ортогональной системы линейно-независимы. Действительно, условием линейной независимости ненулевых элементов {x₁, x₂, …, x_n} является то, что выполняется только при нулевых значениях . Предполагая, что {x₁, x₂, …, x_n} – ненулевые элементы ортогональной системы, умножим скалярно правую и левую часть последнего равенства на x₁. В результате, . В силу условия ортогональности, все скалярные произведения, кроме первого, фигурирующие здесь, равны 0.

Поэтому .

Поскольку , это значит, что . Т.к. тоже самое можно получить для всех , из этого следует линейная независимость элементов ортогональной системы. В любом n-мерном Евклидовом, Гильбертовом пространстве или пространстве Хемминга можно построить полный ортогональный базис, т.е. систему из n-ортогональных векторов.

Ортогональный базис, удовлетворяющий условию:

называется ортонормированным. Очевидно, что по любому ортогональному базису можно построить ортонормированный, заменив на . При этом векторы называются ортами (единичный вектор вдоль оси).

1.2.7: Разложение сигналов в обобщенный ряд Фурье. Равенство Парсеваля

Представим некоторую непрерывную функцию x (t) с интегрируемым квадратом в пространстве L₂ (T) через произвольную ортогональную систему базисных функций векторов , образующий ортогональный базис в L₂ (T). Ортогональность функций означает, что

(*)

В соответствие с 1.2.4. (5*) получаем представление:

(**)

где С_i – коэффициенты (координаты) разложения в ортогональный базис . Полученное представление называют обобщенным рядом Фурье.

Рассматривая сигналы x (t) и как вектора и пространства L₂ (T), найдем скалярное произведение :

С учетом выражения (*) полученное равенство принимает вид:

(3*)

Представление (**) предполагает бесконечную размерность ортогонального базиса. На практике обычно используется усеченный ряд (**), в котором i меняется от 0 до n. Можно показать, что в том случае, когда коэффициент усеченного ряда C_i выбирается в соответствие с соотношением (3*), представление функции x (t) усеченным рядом обеспечивает минимальную среднеквадратическую ошибку аппроксимации.

Определим энергию сигнала x (t):

С учетом (**):

С учетом выражения (*) при условии, что x (t) и набор базисных функций являются действительными функциями, следует:

Т.о., (4*)

Если набор функций является ортогональным (норма равна 1), то равенство (4*) имеет вид:

(5*)

Равенство (4*) и (5*) называется равенством Парсеваля.