1.2.3: Метрические и нормированные пространства. Скалярные произведения.

Метрическим называется линейное пространство, в котором определено расстояние (метрика) между элементами (векторами) пространства, т.е. каждой паре элементов x и y поставлено в соответствие некоторое действительное вещественное неотрицательное число и указан способ, в соответствие с которым и находится это число.

Расстояние удовлетворяет следующим условиям:

1. , если

2. 

3. , где – элементы (точки) пространства.

Третье условие называется неравенством треугольника. Длина стороны треугольника меньше или равна сумме длин двух других сторон.

Важным классом линейных метрических пространств является линейное нормированное пространство (ЛНП). Линейное пространство является нормированным унитарным, если для каждого элемента существует неотрицательное число , называемое его нормой, которое удовлетворяет условиям:

1. = 0, при

2. , где – скаляр.

3. .

Введение нормы позволяет сравнивать векторы по значению, т.е. норма представляет собой численную оценку (длину) вектора. Метрические линейные пространства (МЛП) называют банаховым пространством. В линейном пространстве можно аксиоматически ввести понятие скалярного произведения (двух элементов).

Скалярным произведением является число (в общем случае, комплексное), удовлетворяющее следующим условиям:

1. , где * – комплексное произведение.

2. при

3. 

4. 

1.2.4: Функциональные пространства Евклида, Гильберта, Хемминга.

Вещественным Евклидовым пространством R_n называется линейное n-мерное векторное пространство, любой вектор которого определяется совокупностью конечного числа n его действительных координат как (*1), где - единичный базисный вектор. Пространство R_n можно определить как множество точек, представленных концами векторов, для которых , где – координаты вектора. При n = 2, n = 3 Евклидово пространство представляет собой обобщение соответственно двухмерного и трехмерного пространств геометрических векторов, в которых норма имеет смысл длины вектора. Расстояние между двумя векторами и определяется как норма разностей векторов:

Скалярное произведение в этом пространстве определяется как:

,

где φ- угол между векторами и .

Зримо, этот угол может быть представлен в пространстве геометрических векторов при n = 2, n = 3. Для проекции вектора на и обратно имеем:

Координаты вектора x_i в (*1) представляет собой его проекции на направление координат осей, т.е на векторы базиса . Из определения скалярного произведения вытекает неравенство Бунеаковского – Шварца:

Знак равенства имеет место, когда , где k – скаляр, когда векторы и коллениарны. Для соответствующих сигналы x(t) и y(t) это означает, что они совпадают по форме. При R_n переходит в бесконечномерное пространство Гильберта L₂. Гильбертово пространство в частности пространство непрерывных комплексных функций действительного аргумента T, заданных на интервале (–T/2; T/2), в котором скалярное произведение определено соответствием:

где – комплексная функция времени, а знак «*» – комплексное сопряжение.

Квадрат нормы в пространстве L₂:

Эта величина имеет не только геометрический, но и физический смысл. Если действительный сигнал x (t) электрический ток в единичном сопротивлении 1 Ом, то определяет энергию сигнала E_x:

Элементы Гильбертова пространства L₂ характеризуются интегрируемым квадратом, т.е., если элементы этого пространства – действительные сигналы x (t), определенные на интервале (–T/2; T/2), то выполняется условие:

(*)

Гильбертово пространство при этом обозначается как L₂ (T). При Т → ∞ получаем пространство L₂ (∞). Для некоторых сигналов векторов пространства L₂ (∞) условие (*) может не выполняться, но выполняется условие:

(**)

В этом случае вводится скалярное произведение с размерностью мощности Р_х (для токов и напряжений с единичным сопротивлением):

(***)

При этом квадрат нормы:

(****)

При выполнении условия (***) в пространстве L₂ (∞) определены соотношения (***) и (****) при Т → ∞. Квадрат расстояния между двумя векторами в вещественном пространстве L₂ (T) определяется соотношениями:

Пространство L₂ представляет собой естественное обобщение пространства R_n, получаемое путем перехода от дискретной функции непрерывного аргумента. В курсе ТЭС пространство L₂ имеет особое значение, т.к. оно позволяет применить общие геометрические представления к сообщениям, сигналам и помехам, определенным как функция непрерывного аргумента. Устремляя в (*1) n→ ∞, получаем представление x (t) в пространстве Гильберта:

Важную роль в теории кодирования играет пространство Хемминга, элементами (векторами) которого являются двоичные n-разрядные кодовые комбинации .

Пример:

n=5

Сложение векторов в этом пространстве реализуется как поразрядное сложение элементов кодовой комбинации по модулю 2.

Пространство Хемминга определено над полем GF (2), т.е. множество скаляров, с которыми взаимодействует данное пространство, содержит 2 элемента – 1 или 0.

Скалярное произведение в этом пространстве задается как:

где сумма понимается в обычном смысле, а не по модулю 2. Отсюда норма двоичного вектора:

т.к. 1² =1 и 0² = 0.

Можно видеть, что норма двоичного вектора определяется количеством содержащихся в нем 1. Эту норму называют также весом вектора W. Расстояние в пространстве Хемминга:

,

где – суммирование по модулю 2.

В поле GF (2) сложение по модулю 2 и вычитание по модулю 2 эквивалентно. Из этого определения следует, что в пространстве Хемминга расстояние между двоичными векторами определяется по числу позиций кодовой комбинации, в которых вектора имеют разные символы.