Параграф 2.7.2: Определение корреляционной функции отклика y4(t) линейной параметрической системы со случайной характеристикой при случайном входном воздействии

По определению корреляционной функции в этом случае можно записать:

.

Поскольку, как отмечалось, характеристика системы и входной сигнал представляют собой независимые процессы, справедливо соотношение

.

С учетом этого и, принимая во внимание тот факт , где B_x() — функция автокорреляции входного сигнала, получаем

(7)

Из выражения (7) видно, что корреляционная функция процесса на выходе линейной системы не зависит от распределения входного процесса, а определяется лишь его корреляционной функцией и характеристикой системы.

Введем новые переменные и . Тогда

(8)

При стационарном входном воздействии . Подставляя результат в формулу (8), можно увидеть, что на выходе линейной системы с переменными параметрами отклик нестационарен, даже при стационарном входном воздействии (т.к. остается при этом функцией двух параметров t₁ и t₂, а не одного, равного t₂ – t₁.

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье и, проделав необходимые преобразования, можно выразить корреляционную функцию через энергетический спектр входного процесса и частотную передаточную функцию следующим образом:

(14)

Величину называют функцией корреляции системы с случайно изменяющимися параметрами.

Введем обозначение:

(15)

Тогда

(16)

Параграф 2.7.3: Определение корреляционной функции отклика y3(t)

Корреляционную функцию отклика y₃(t) можно определить формулой, аналогичной (16), если детерминированного воздействия в соответствии с определением энергетического спектра понимать характеристику

(17)

где — спектр сигнала m_x(t).

Параграф 2.7.4: Определение корреляционной функции отклика y2(t)

Корреляционную функцию отклика y₂(t) детерминированной параметрической системы с характеристикой на стационарное случайное воздействие можно определить формулой, аналогичной (16), если заменить в ней на и под понимать (18). Для детерминированной линейной параметрической безынерционной системы, у которой не зависит от частоты и равна Kср(t), формула (16) принимает вид:

(19)

Если система линейна и стационарна, т.е. если ее параметры не изменяются во времени и

(20)

В соответствии со следствием теоремы Винера-Хинчина . Приравнивая правые части последнего равенства и уравнения (20), получим

(21)

и

(22)

Формула (21) указывает закон преобразования энергетического спектра стационарного случайного процесса при его прохождении через стационарную линейную систему с КЧХ . ФЧХ линейной системы как и следовало ожидать не оказывает никакого влияния на закон преобразования энергетического спектра процесса. Вводя в рассмотрение временную функцию корреляции от неслучайной импульсной характеристики h(t)

(23),

представляющую собой обратное преобразование Фурье от функции квадрат КЧХ на основании выражения (21) и теоремы о производной спектров (8 свойство преобразования Фурье).

(24)

Т.о. задача о преобразовании энергетического спектра стационарного случайного процесса и его корреляционной функции при прохождении через стационарную линейную систему полностью решается формулами (20 — 24), если заданы частотная характеристика или импульсная реакция системы и энергетический спектр или корреляционная функция процесса на входе.