Параграф 2.7: Прохождение случайных сигналов, через линейные, параметрические и нелинейные системы Параграф 2.7.1: Прохождение случайных сигналов линейные параметрические системы. Общие сведения.

Исследования преобразований случайных процессов при их прохождении через непрерывные системы (как с постоянными так и переменными детерминироваными и случайно меняющимися параметрами) связано с решением задач двух типов:

1. по данной корреляционной функции (энергетическому спектру) входного воздействия Х(t) найти корреляционную функцию (энергетический спектр) отклика У(t) на входе непрерывной системы, заданной ее характеристиками.

2. Зная многомерное распределение Х(t) найти многомерные распределения У(t).

Вторая из указанных задач является более общей. Из ее решения очевидно, может быть получено и решение первой задачи, однако первая задача может быть решена и более просто без нахождения многомерных распределений.

Рассмотрим основной подход к определению корреляционной функции отклика линейной системы (параметрической) при случайном входном воздействии.

Произвольный случайный процесс X(t), поступающий на вход системы в общем случае можно представить как сумму центрированного процесса X(t) и его математического ожидания mx(t)

(1)

Обобщением линейной системы является параметрическая линейная система со случайно изменяющимися параметрами. Ее импульсная характеристика и частотная передаточная функция представляет собой нестационарный случайный процесс и по аналогии с (1) так же могут быть представлены в виде сумм математических ожиданий процессов и и центрированных процессов.

(2)

(3)

Частному случаю параметрической линейной системы с детерминировано изменяющимися параметрами в выражениях (2) и (3) соответствуют

(4)

и

(5)

а варианту линейной стационарной системы соответствуют

(4)

и

(5)

Подставляя (1) и (2) в выражение (П*), связывающее отклик y(t) параметрической системы с входным воздействием ее импульсной характеристикой можно убедиться, что отклик обобщенной линейной системы с характеристикой (или ) на произвольное входное воздействие может быть определен суммой четырех компонентов.

(6)

где

y₁(t) — отклик детерминированной параметрической системы с характеристиками или на детерминированное воздействие mx(t).

y₂(t) — отклик детерминированной системы с характеристикой или на центрированное случайное воздействие X(t).

y₃(t) — отклик системы с центрированной характеристикой или на детерминированное воздействие m_x(t).

y₄(t) — отклик системы с центрированной случайной характеристикой или на центрированное случайное воздействие .

Поскольку, во-первых, детерминированные и флуктуационные части любого случайного процесса статистически независимы и, во-вторых, в силу линейности связь между входным воздействием и характеристиками системы также отсутствуют можно считать, что слагаемые между собой статистически независимы. Это означает, что корреляционная функция или энергетический спектр процесса x(t) могут быть найдены суммированием корреляционных функций или спектров отдельных слагаемых выражения (6).