Параграф 2.4.4: Передаточная функция линейной системы

Если функции, описывающие входные выходные сигналы системы представлены с помощью соответствий или преобразований Лапласа в виде U_вых(р) и U_вх(р), то правила, связывающие U_вых(р) и U_вх(р) можно получить вычислив преобразование Лапласа от обеих частей интеграла Дюамеля; учитывая, что при переходе к изображением свертка заменяется произведением, получим:

Здесь К(р) = L[h(t)] – передаточная функция системы, представляющая собой преобразование Лапласа от ее импульсной характеристики.

Р = σ + jω комплексная переменная.

Пусть линейная система задана своим дифференциальным уравнением (2.13). Полагая начальные условия нулевыми вычислим преобразование Лапласа от обеих частей (2.13). В результате получим:

откуда

(*)

Полученные соотношения связывают передаточную функцию системы с коэффициентами ее дифференциального уравнения, сопоставляя его с аналитическим выражением для К(jω), нетрудно убедиться, что КЧХ К(jω) представляет собой передаточную функцию К(р), вычисленную на линейной оси комплексной точности, определяемой уравнением Р = jω.

Практически это означает, что для того, чтобы от выражения для К(р) перейти к выражению для К(jω) необходимо всего лишь заменить оператор Р на jω.

Выражение (*) показывает, что передаточная функция K(P) представляет собой дробно-рациональную функцию комплексной переменой Р. Условием физической системы с передаточной функцией К(Р) является выполнение неравенства . Если приравнять знаменатель (*) к нулю, то получим уравнение . Корни этого уравнения называются полюсами функций К(Р). Приравнивая к 0 числитель этого выражения получаем уравнение . Корни этого уравнения называются нулями передаточной функции.

Полюсы и нули называются особыми точками передаточной функции. Зная полюсы и нули передаточной функции можно восстановить ее с точностью до константы К0, записав, . Расположение особых точек в Р плоскости характеризует свойства системы. Полюсы передаточной функции являются корнями выражения (*), которое совпадает с характеристическим уравнением системы (см. пункт 2.4.2.2). Поэтому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы полюсы располагались строго в левой полуплоскости переменной Р. Нули передаточной функции в общем случае могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости. Однако их расположение также оказывает существенное влияние на свойство системы. В том случае, если передаточная функция не имеет нулей в правой полуплоскости, то соответствующая ей линейная устойчивая система называется минимально-фазовой. Если же нули в правой полуплоскости имеются, то система является неминимально-фазовой.

Параграф 2.4.5:Минимально-фазовые и неминимально-фазовые системы

Расположение нулей функции К(Р) в случае аналоговой системы связано с конфигурацией электрической цепи, реализующей системы. В электротехнике показывается минимально фазовым будет любой четырехполюсник, обладающий следующим свойством: передача сигнала с входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви схемы (не любой единственной ветви), а существует хоть одна единственная ветвь, разомкнув которую можно прекратить подачу энергии со входа на выход.

Неминимально-фазовые четырехполюсники имеют структуру мостовых или скрещенных цепей, в которых сигнал на выход проходит по двум или более цепям.

γ a γb γb γa γb

Uвх Uвых Uвх Uвых

γb

γa

γa

Однако не всегда мостовая структура гарантирует автоматическую принадлежность цепи к неминимально-фазовому классу. Всегда следует проверять наличие или отсутствие нулей в правой полуплоскости. Важность разделения линейных систем на минимально и неминимально фазовые обусловлены следующим: можно строго показать, что для минимальнофазовых систем, характерно однозначное соответствие между АЧХ и ФЧХ , которое выражается в том, что и связаны между собой парой преобразований Гильберта, т.е.

Таким образом, реализуя заданную АЧХ линейной функциональной системы, невозможно получить при этом любую ФЧХ.

Основываясь на свойствах преобразования Гильберта можно утверждать, что:

1. если АЧХ такой системы на некоторой частоте достигает max, то ФЧX на этой частоте проходит через Ø.

2. при прохождении АЧХ через max наклон ФЧХ на частоте max отрицателен, при прохождении АЧХ через min наоборот.

3. равномерной в диапазоне частот АЧХ соответствует линейная ФЧХ в этом же диапазоне частот, участком диапазона частот с относительно быстрым изменением АЧХ соответствует нелинейная ФЧХ.

Если же система принадлежит к классу нелинейных функциональных, то АЧХ и ФЧХ независимы друг от друга. Среди нелинейных функциональных четырехполюсников особо важную роль играют так называемые все пропускающие системы, у которых К(ω) = const и не зависит от частоты.

Подобные четырехполюсники используются для фазовой коррекции каналов. Они позволяют компенсировать искажения формы сигналов, обусловленные фазовыми искажениями.