Параграф 1.2: Пространство векторов и сигналов.

1.2.1: Общие сведения. Определение линейного векторного пространства.

При рассмотрении многих вопросов ТЭС оказывается полезной геометрическая интерпретация постановки задачи, методов её решения и получения результатов. При этом описываемые громоздкими формулами соотношения между различными сигналами иллюстрируется ясными и наглядными геометрическими построениями. Аналогия между геометрическими векторами и сигналами не является случайной. Дело в том, что и геометрические векторы и сигналы можно рассматривать как элементы одной математической структуры – линейного векторного пространства. Поэтому, для изучения ТЭС необходимо иметь представления об основах теории линейных векторных пространств. В математике множество называется линейным векторным пространством, удовлетворяющее следующим условиям:

1. для любых двух элементов однозначно определен третий элемент , называемой их суммой и также входящий в данное множество, причем

2. множество содержит нулевой элемент 0 такой, что .

3. для каждого элемента линейного пространства существует противоположный ему элемент такой, что .

4. любой элемент пространства можно умножить на число a из некоторого множества скаляров , причем также принадлежит данному пространству, и выполняются соответствия:

Записываемые формулы - это элементы пространства, а a и b – скаляры. Множество скаляров образуют алгебраическую структуру, называемую полем. В качестве множества скаляров может выступать множество рациональных, комплексных и действительных чисел. При определении пространства обычно говорят так: линейное векторное пространство над полем (и указывается тип поля). Элемент любого векторного пространства называется вектором. Примеры линейных пространств:

1. множество геометрических векторов (пространство над полем действительных чисел), т.е. направленных отрезков с обычным определением векторного сложения и умножения и умножения вектора на число.

2. множество функций (пространство над полем комплексных чисел) с обычным определением и умножения на комплексное число.

3. множество упорядоченных последовательностей из n-чисел а₁, а₂, …, а_n.

4. пространство над конечным полем G F(n). В этом случае, элементы поля – векторы – представляют собой последовательности чисел а₁, а₂, …, а_n, выбираемое из поля G F(n). Такие пространства используются в теореме кодирования.

Подмножество элементов векторного пространства, обладаемое всеми свойствами векторного пространства, называется подпространством.

1.2.2: Линейная независимость, размерность и базис линейного пространства.

Элементы линейного пространства называются линейно-зависимыми, если существуют такие скаляры , не все равные 0, что имеет место равенству:

Очевидно, что в этом случае любой из этих элементов можно выразить линейной комбинацией, например:

Этого нельзя сделать, если равенство (*) не выполняется, или при . В таком случае элементы линейно-независимы. Количество линейно-независимых элементов, присутствующих в линейном пространстве, определяет размерность этого пространства. Линейное пространство, в котором можно найти n-независимых элементов, а любые n+1-независимые элементы являются линейно-зависимые, называется n-мерным. Если можно найти бесконечное число линейно-независимых элементов, то пространство называется бесконечномерным. Набор n-линейных векторов линейного пространства называется полным, если любой вектор может быть выражен в виде:

Полный набор линейно-независимых векторов пространства называется его базисом. Число векторов, содержащихся в базисе линейного пространства, называют размерностью базиса. При этом понятия размерности базиса и размерности пространства совпадают.

В одном и том же векторном пространстве может существовать несколько различных базисов (до бесконечности), но все они содержат одинаковое количество векторов. В общем случае, произвольный вектор линейного пространства может быть выражен в виде линейной комбинации m-векторов этого пространства, не все из которых являются линейно-независимыми. Однако, можно строго показать, что в этом случае количество слагаемых m > n. Т.о., наиболее рациональным является представление вектора на основе линейной комбинации полного набора линейно-независимых векторов.

Пример:

Линейное пространство векторов на плоскости является двумерным.

Действительно, если обозначить единичные векторы вдоль осей X и Y соответственно a_x и a_y, то произвольный вектор V можно определить как , где х₀, y₀ - скаляры (координаты вектора). Вектора , расположенные вдоль осей координат, являются линейно-независимыми, т.к. равенство возможно только при нулевых значениях чисел х₀ и y₀ . В то же время любой другой вектор на плоскости может быть однозначно определен своим составляющими вдоль оси x и y. Система координат x и y, определенная векторами ax и ay, представляет базис данного пространства. Поскольку угол между осями координат может быть произвольным, возможно бесконечное множество различных вариантов построения базиса данного пространства, однако, в любом случае, базис будет представлять собой систему из двух линейно-независимых векторов. Если в качестве элементов пространства рассматривать множество направленных отрезков в геометрическом пространстве, то, проводя аналитические рассуждения, можно прийти к выводу, что данное пространство является трехмерным. При этом всякую упорядоченную тройку действительных чисел x₀, y₀, z₀ можно рассматривать как координаты радиус-вектора трехмерного пространства в некотором базисе (системе координат).

Рассматривая совокупность n-вещественных чисел {x₀, x₁, …, x_n}, можно считать их координатами радиус-вектора некоторого абстрактного n-мерного линейного пространства. Это пространство при n>3, не имеет физического прообраза, доступного нашему чувственному восприятию, однако является весьма полезным при рассмотрении ряда вопросов ТЭС. Непрерывная функции времени, дискретизированная на интервале (–T/2; T/2) в n-точках может быть представлена в n-мерном пространстве радиус-вектора, координаты которого определяются дискретными значениями сигналов. При т.о. можно представить и недискретизированную непрерывную функцию f(t).