Параграф 1.10.4: Комплексная огибающая. Синфазная и квадратурная составляющая сигнала.

Квазигармоническое представление возможно для любого сигнала, однако, оно наиболее полезно при изучении относительно узкополосных сигналов, у которых ширина спектра ff_ср. Для таких сигналов огибающая A(t) является низкочастотным процессом, т.е. изменяется медленно по сравнению с изменениями сигнала X(t). Это же верно и для мгновенной начальной фазы и для ее производной , при условии, что частота 0 выбрана вблизи средней круговой частоты спектра 2f_ср. При наблюдении на осциллографе такой процесс имеет вид колебания промоделированного по амплитуде и фазе. Процесс представляет собой синусоиду или косинусоиду с частотой ₀ (несущие колебания), амплитуда и фаза которых относительно медленно изменяются в соответствии с законом модуляции A(t) и _. Функции A(t) и в теории связи обычно представляют собой полезные сообщения, передаваемые с помощью процесса X(t). Выражение для X(t) со (*) можно записать в следующем виде:

,

где – комплексная огибающая сигнала.

Модуль комплексной огибающей, равный A(t), содержит информацию об амплитудной модуляции колебаний, а фазовый множитель – только об угловой модуляции. В целом же произведение содержит полную информацию о полезном сообщении модулированного сигнала. Это свойство комплексной огибающей обуславливает важность понятия “аналитический сигнал”, поскольку позволяет при анализе узкополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту ω₀, которая может быть достаточно высокой. Преобразуя последнее выражение для можно записать:

Откуда видно, что комплексную огибающую можно рассматривать как результат сдвига спектра аналитического сигнала на частоту ω₀. В отличии от действительной огибающей А(t), комплексная огибающая не определяется однозначно сигналом X(t), а зависит также от выбора в общем случаи произвольной частоты ω₀ (за счет изменения ω₀ изменяется , а следовательно и ).

Введем обозначения для действительной и мнимой частей комплексной огибающей:

С помощью этих функций можно получить еще одно полезное представление сигналов X(t) и :

Функции Aс(t) и Aк(t) – называются соответственно синфазной и квадратурной составляющими сигнала X(t). Так же как и ,они зависят от выбора частоты ω₀. Для узкополосного сигнала эти функции, так же как и A(t), являются медленно изменяющимися (низкочастотными).

Рассмотрим два последних выражения как систему уравнений относительно A_с(t) и A_к(t) и решив ее получаем выражение, связывающие эти функции сигналами X(t) и :

Данные выражения показывают, что функции A_с(t) и A_к(t) являются линейными комбинациями сигналов X(t) и .

Параграф 1.10.5: Вероятностные характеристики огибающей фазы случайного процесса.

Зная функцию распределения исходного случайного процесса X(t), можно обычными методами теории вероятности найти функцию распределения для всех вновь введенных процессов: , , A(t), , , , A_с(t), A_к(t).

В общем случаи эта не простая задача, поэтому рассмотрим частный случай , когда X(t)-центрированный стационарный Гауссовский процесс.

Известно, что процесс, полученный в результате линейного преобразования Гауссовского процесса, также является Гауссовским, т.к. преобразования Гильберта линейно, можно утверждать, что также Гауссовский процесс.

Процессы Aс(t) и Aк(t) представляют собой линейные комбинации процессов X(t) и , поэтому их распределение будет Гауссовским. Поскольку отличается от X(t) только фиксированным сдвигом фаз всех гармонических составляющих, то

1. , т.к. математическое ожидание имеет смысл среднего значения процесса, который при таком преобразовании не меняется.

2. , т.к. энергетический спектр не зависит от фазовых соотношений.

3. , вытекает из второго пункта теоремы Винера – Хинчина.

4. , т.к. D=B(0).

Процессы X(t) и являются Гауссовскими и в совпадающие моменты времени между собой не коррелированны, следовательно, они не зависимые. Поэтому, совместную плотность вероятностей X(t) и характеризующую аналитический сигнал в одном сечении t можно записать так:

Дисперсия аналитического сигнала:

Процессы и также стационарны, но поскольку они получены из X(t) и с помощью нелинейных операций, они не являются Гауссовскими. Найдем совместную интегральную функцию распределения А и в некотором сечении t, т.е. функцию .

Геометрическая интерпретация этой задачи представлена на рисунке:

a

V

По оси ординат отложены значения , а по оси абсцисс X . искомая функция распределения является вероятностью того, что коней вектора представляющего аналитический сигнал находится внутри заштрихованной зоны. Для нахождения функции распределения , можно проинтегрировать по области V. Перейдем к полярной системе координат используя известные формулы:

При этом имеем:

Двумерная интегральная функция распределения представляет собой произведение двух одномерных функций:

Это означает, что огибающая и в одном сечении независимы. Плотность распределения огибающей найдем как производную интегральной функции распределения:

Это известное распределение Релея, график которого показан на рисунке совместно с графиком Гауссовского распределения :

Наиболее вероятностные значения . Математическое ожидание - . Дисперсия - . Для плотности распределения фазы имеем:

Следовательно, фаза стационарного централизованного Гауссовского процесса распределена равномерно на интервале (0,2π).

0

Мгновенная начальная фаза рассмотревшего процесса также равномерно распределена на интервале протяженностью 2π. Действительно, можно отыскать совместную интегральную функцию распределения исходя из совместной плотности распределения процесса . Процессы Aс(t) и Aк(t) являются центрированными Гауссовскими процессами не зависимыми в совпадающие моменты времени, причем , поэтому совместная плотность вероятности определяется выражением аналогичным в котором символы X и заменены на Aс и Aк. Повторяя только что проведенные рассуждения и выкладки заменой X, , на Aс, Aк_, найдем плотность распределения для A(t) и равномерную плотность распределения _.