Параграф 1.10.2: Комплексные случайные процессы.

Введенные понятия можно распространить и на случайные процессы. Ансамбль комплексных функций действительной переменной t - с заданными n-мерными распределениями вероятностей представляет собой комплексный случайный процесс, который можно рассматривать как совокупность двух действительных процессов X(t) и Y(t). Распределение n-го порядка процесса задается 2n-мерным совместным распределением процессов X(t) и Y(t).

Математическое ожидание комплексного случайного процесса и представляет собой в общем случае комплексную функцию времени. Его дисперсия также в общем случае является функцией времени, но не комплексной, а действительной и к тому же неотрицательной.

Функция корреляции комплексного случайного процесса определяется как:

,

где – центрированный процесс (знак “*” означает комплексное сопряжение).

В общем случае является комплексной функцией двух действительных аргументов, при этом :

Комплексный случайный процесс стационарен в широком смысле, если его математическое ожидание не зависит от времени, а функция корреляции зависит только от разности τ=t₂–t₁. Из этого следует, что и дисперсия стационарного комплексного процесса не зависит от времени.

Комплексный случайный процесс называют аналитическим, если , где - есть преобразование Гильберта от X(t). Аналитические случайные процессы обладают свойствами аналогичными детерминированным аналитическим сигналам. В частности, если действительный случайный сигнал Х(t) имеет энергетический спектр Gx(f), то у аналитического сигнала, соответствующего X(t) энергетический спектр равен:

Таким образом, спектральная плотность мощности аналитического сигнала совпадает с односторонним энергетическим спектром его действительной части.

Важным параметром аналитического сигнала является функция взаимной корреляции между процессами X(t) и :

Для стационарного аналитического сигнала она зависит только от разности фаз τ = τ₂– τ₁, причем можно показать, что при τ=0 . Таким образом, функции X(t) и не коррелированны в совпадающие моменты времени.

Параграф 1.10.3: Огибающая и фаза комплексного случайного процесса. Квазигармоническое представление случайных процессов.

Представим аналитический спектральный сигнал в экспоненциальной форме:

- действительный случайный процесс, называемый огибающей сигнала X(t). - действительный случайный процесс, называемый полной фазой или фазой сигнала. Для ψ(t) справедливо следующее равенство:

,

Огибающая и фаза полностью определяется (для случайного процесса в вероятностном смысле) действительным сигналом X(t). Из определения огибающей видно, что A(t)>>X(t). А в тех точках, где имеет место равенство A(t)=X(t) сигнал и его огибающая имеют одинаковые производные . Понятие огибающей и полной фазы процесса можно проиллюстрировать, изобразив сигнал в виде случайного векторного процесса на комплексной плоскости. На рисунке показано одна из реализаций вектора x(t) в момент t=0.

A(0)

Длина этого вектора =А(0), а угол между ним и действительной осью составляет .С течением времени конец вектора перемещается по некоторой траектории так, что в любой момент его длина равна A(t) и он образует с действительной осью.

Угловая скорость вектора - называется мгновенной частотой сигнала. Ее можно выразить через действительный сигнал X(t) и сопряженный с ним сигнал , дифференцируя по t выражение для :

,

где “ ’ ” означает производную по времени.

Выберем произвольную частоту ω_0. . Тогда:

(*)

Случайная функция называется мгновенной начальной фазой сигнала относительно частоты ω_0.,она зависит от выбора ω₀.

Действительный сигнал X(t) и сопряженный с ним можно представить в квазигармонической форме непосредственно вытекающей из экспоненциального представления аналитического сигнала:

Еще одно свойство аналитического сигнала: если все гармонические составляющие всех реализаций случайного процесса X(t) сдвинуть по фазе на одинаковый угол , то полученный при этом процесс:

Аналогично, при повороте на угол ( ):