Параграф 1.9.8: Теорема Винера - Хинчина.

Спектральная плотность мощности можно определить по его корреляционной функции на основании следующей теоремы Минер – Хичена:

Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса является преобразованием Фурье от его корреляционной функции:

Из этой теоремы вытекает ряд следствий:

1. Справедливо преобразование: (*)

2. Значение на нулевой частоте равно интегралу от корреляционной функции:

3. Т.к. неотрицательна, то из формулы (*) следует, что корреляционная функция случайных процессов могут быть только такие, которые имеют положительные преобразования Фурье; подобные функции называются положительно-определенными.

Формулы для и можно записать в тригонометрической форме, если учесть, что так же как и является четной функцией:

Аналогичные соотношения существуют между нормированными функциями корреляции и нормированным энергетическим спектром :

Для одностороннего спектра:

Параграф 1.9.9: Квазибелый и белый шум.

Рассмотрим стационарный процесс с равномерной стационарной плотностью мощности в некоторой полосе частот. Такой процесс называют квазибелым шумом по его аналогии с белым светом, представляющим собой электромагнитные волны с равномерным спектром в области видимых частот.

Пусть

Найдем его корреляционную функцию:

График имеет вид:

Из графика видно, что сечения процесса , где k – целое число, некоррелированы между собой.

Если бесконечно увеличивать , то придем к процессу, у которых два любых несовпадающих сечения некоррелированы. Такой процесс называется белым шумом. Его спектральная плотность мощности N постоянна на всех частотах, а коррелированная функция . Изобразим его:

Белый шум представляет собой не реальный математический процесс, а математическую идеализацию, часто применяемую. На практике часто встречаются с процессами ……… в очень широкой полосе частот, значительно более широкой, чем полосы пропускания цепей, на которые они воздействуют, например, тепловой шум.

Из рассмотрения данного процесса видно, что увеличение интервала корреляции приводит к сокращению величины спектра и наоборот. Это является проявлением общего свойства любой пары функций, связанных между собой преобразованием Фурье.

Параграф 1.10: Комплексное и квазигармоническое представление сигналов. Параграф 1.10.1: Комплексное представление детерминированных сигналов.

В электротехнике широко используется символический метод, в соответствие с которым принято представлять гармонические колебания (ток, напряжение) в форме:

Такой прием позволяет заменить выполнение трудоемких алгебраических операций с тригонометрическими функциями более простыми действиями над комплексными величинами, облегчает решение многих задач и приводит к правильным результатам, если полученное комплексное решение заменить его действительной или мнимой частью.

В современной технике связи представление колебаний в комплексной форме получило дальнейшее развитие и распространено на негармонические сигналы. Обобщением символического метода является представление любого сложного сигнала комплексной функции:

В частном случае гармонического сигнала .

При этом сопряженный сигнал ,отличается от действительного сигнала только сдвигом фазы на ( ).

В общем случае негармонического сигнала x(t) также определим сопряженный сигнал как результат поворота фаз всех гармонических составляющих спектральной характеристики на ( ). Иначе говоря, если x(t) можно представить интегралом Фурье в тригонометрической форме:

то ,

где ,

Можно показать, что два сигнала x(t) и, удовлетворяющие этим условиям, связанны между собой во временной области интегральными преобразованиями, называемыми преобразованиями Гильберта:

Первая из этих формул выражает прямое преобразование Гильберта, а вторая - обратное преобразование Гильберта.

Комплексный сигнал называют аналитическим сигналом, если есть преобразование Гильберта от .

Определим, как связан спектр аналитического сигнала и спектр исходного сигнала x(t). Так как фазы всех составляющих спектральной плотности сопряженного сигнала в области положительных частот сдвинуты на ( ) относительно, , а умножение на j означает сдвиг фазы на ( ), то имеет в области положительных частот такой же спектр, как и x(t). В области же отрицательных частот преобразование Гильберта соответствует повороту фаз на ( ), и поэтому спектре фазы с отрицательными частотами сдвинуты на относительно спектра x(t).

В результате спектр аналитического сигнала в области отрицательных частот равен нулю, а в области положительных частот спектры x(t) и складываются в одной фазе.