Параграф 1.9.6: Случайные процессы, определяемые двумерной плотностью вероятности.

Среди различных типов случайных процессов можно выделить некоторые, которые полностью характеризуются простейшими плотностями вероятности. Примером процесса, полностью определяемого одномерной плотностью вероятности, является «белый шум». Его сечения в различные моменты статистически независимы, поэтому их совместная n-мерная плотность вероятности:

Это означает, что при любом n n-мерная плотность вероятности однозначно определяется одномерной плотностью. Следующий по сложности процесс получается, когда вся информация о нем содержится в двумерной плотности вероятности . Такими являются гауссовские процессы и простые Марковские случайные процессы; n-мерная плотность вероятности гауссовского случайного процесса определяется формулой:

(*)

где – математическое ожидание и дисперсия в случайном процессе i-сечения;

– определитель корреляционной матрицы R.

– коэффициент корреляции между i и k сечениями процесса.

– алгебраическое дополнение определителем элементов .

Для определения корреляционной функции процесса требуется знание двумерной плотности распределения. Математическое ожидание определяется одномерной плотностью распределения, которую по двумерной плотности можно вычислить так:

По известной корреляционной функции можно построить матрицу R, а по матрице R, математическому ожиданию, формуле (*) можно записать плотность вероятности любой мерности n. Поскольку в соответствие с формулой (*) n-мерная плотность распределения гауссовского процесса при любом n полностью определяется его математическим ожиданием и корреляционной функций, при стационарности такого процесса в широком смысле, он одновременно стационарен и в узком смысле. В том случае, когда n=1 , в формуле (*) , , в результате одномерной плотности распределения гауссовского процесса можно записать в виде:

(**)

Важным свойством гауссовского процесса является следующее: некорреляционные сечения являются независимыми. Действительно, сели все сечения гауссовского процесса некорреляционны при , то матрица R является единичной. Следовательно, , . Учитывая это, а также тот факт, что сумма аргументов exp соотносит произведение exp со слагаемыми аргументами, формулу (*) можно записать так:

С учетом выражения (**) последний результат принимает вид:

,

что является условием статистической независимости отдельных сечений процесса.

Ещё одно важное свойство гауссовского процесса заключается в следующем: случайнsй процесс Y (t) представляет собой линейную комбинацию L-гауссовских процессов:

,

т.е. описывается такой формулой, где – детерминированные функции времени также являются гауссовскими. При стационарности процессов процесс заведомо стационарен лишь при . Это свойство в частности означает, что сумма гауссовских процессов также представляет собой гауссовский процесс.

Сигналы и аддитивные помехи в каналах связи часто предполагаются нормальными или гауссовскими случайными процессами. Это объясняется тем, что случайные значения реальных физических процессов обусловлены чаще всего суммой большого числа слабокоррелированных слагаемых с ограниченной средней дисперсией и значениями. По центральной предельной теореме распределение вероятностей результирующего процесса в таких же условиях сколь угодно близко приближается к гауссовскому (тем ближе, чем больше слагаемых участвует в образовании этого процесса).

Отличительной особенностью простого Марковского случайного процесса являются минимальные последствия. Для него вероятность нахождения X в заданном интервале значений момента t_n зависит только от состояния процесса в предшествующий момент t_n-1 .

Иначе говоря, совместная n-мерная плотность вероятности простого Марковского случайного процесса определяется:

совместной двумерной плотностью вероятности , т.к по ней можно определить условие перехода плотности вероятности:

Теория Марковских процессов хорошо разработана и используется в теории связи. В частности, при некоторых дополнительных условиях можно показать, что переходная плотность вероятности удовлетворяет дифференциальному уравнению 2 порядка частных производных:

при начальном условии вида .

– коэффициенты, которые могут быть определены из системы сахостических дифференциальных уравнений, описывающих процесс. Приведенное уравнение называется уравнением Фокера-Планка-Колмогорова.

Первоначально, это уравнение применялось для изучения поведения броуновских частиц, поэтому его часто называют диффузионным, а коэффициента – коэффициенты сноса и диффузии соответственно.

Марковские процессы, удовлетворяющие этому уравнению, называют диффузионными. В общем случае, – это нестационарные процессы. Для стационарного процесса коэффициенты А₁, А₂ не зависят от времени.

В зависимости от вида А₁и А₂ диффузионный Марковский процесс может иметь различные распределения вероятностей. В частности, он может быть гауссовским. Имеет место следующая теорема: «Для того чтобы стационарный гауссовский процесс был Марковским, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициент корреляции был exp-ной функцией , т.е. , где ».