Параграф 1.9.4: Стационарные случайные процессы.

Стационарными (однородными) называются случайные процессы, вероятностные характеристики которых не меняются во времени. Различают понятия стационарности в узком (строгом) и широком смысле. Процесс является стационарным в узком смысле, если его функция распределения произвольного порядка n не меняется во времени при любом сдвиге на произвольную величину всех временных параметров, т.е для любого n и справедливо:

Из этого определения следует, что у такого процесса n-мерная функция распределения зависит только от (n-1) временных параметров . В частности, одномерная функция распределения стационарного процесса (n=1) совсем не зависит от времени, поэтому его математическое ожидание и дисперсия постоянны во времени. Поскольку двумерная плотность распределения стационарного случайного процесса зависит только от одной временной переменной , то и его корреляционная функция зависит только от одной переменной .

Можно показать, что корреляционная функция стационарного процесса является четной своего аргумента:

Как отмечалось, решение большого числа практических задач может быть осуществлено на основе корреляционной теории случайных процессов, в которой многомерные распределения не фигурируют. Поэтому в рамках этой теории стационарными считаются все процессы, у которых математическое ожидание и дисперсия постоянны во времени, а корреляционная функция зависит только от одного параметра . Процессы, удовлетворяющие этим условиям, называются стационарными в широком смысле. Стационарность в широком смысле не тождественна строгому определению стационарности в узком смысле. Реальные сообщения, сигналы и помехи обычно не являются стационарными, хотя бы по той причине, что они имеют ограниченную длительность. Однако, если их рассматривать на протяжении не слишком длительного времени, то можно с хорошим приближением считать стационарным процессом, который поэтому широко используется в качестве математической модели реальных сообщений, сигналов и помех.

Параграф 1.9.5: Эргодические случайные процессы.

Стационарные в широком смысле процессы в большинстве практически важных ситуаций обладают так называемым эргодическим свойством (усреднение по множеству реализаций случайного процесса x(t) дает примерно тот же результат, что и усреднение по времени одной реализации x(t), если время усреднения Т достаточно велико). Достаточное условие эргодичности стационарного в широком смысле процесса можно записать в виде:

(*)

Математическое ожидание для эргодического процесса можно определить путем усреднения по времени (обозначается волнистой чертой сверху) единственной реализации x(t):

Т.о., для эргодического процесса нахождение Математического ожидания сводится к интегрированию одной реализации процесса.

Дисперсия эргодического процесса можно найти так:

Эта величина представляет собой среднюю мощность переменной составляющей процесса:

Здесь операция определения дисперсии сводится к операции возведения в квадрат переменной составляющей процесса и интегрирования. Функция корреляции эргодического случайного процесса также можно получить усреднением по времени:

Очевидно, что . Схема измерения функции корреляции согласно этому алгоритму имеет вид:

Графики типовых функций корреляции:

У кривой 1 корреляционная связь медленно убывает, а 2 кривой – быстрее. Коэффициент и функция корреляции для эргодического случайного процесса стремится к 0 с увеличением . Это происходит потому, что чем дольше отстоят друг от друга сечения, то тем слабее статистическая зависимость между ними. Интервал времени называется временем корреляции процесса, если при становится пренебрежительно малой (практически, в большинстве случаев достаточно, чтобы она стала меньше 0.1) Время корреляции обычно определяют как основание прямоугольного прямоугольника с высотой, равной 1, площадь которого равна площади ограниченной кривой и осями координат.

Можно показать, что достаточное условие эргодичности стационарности в широком смысле процесса (*) эквивалентно условию:

Данное условие позволяет трактовать физический смысл эргодической гипотезы т.о.: при его выполнении отдаленные более чем на отрезки, рассматриваемые реализацией процесса, можно считать отдельными реализациями процесса в виду их слабой статистической взаимосвязи. Т.о., и появляется возможность замены усреднения ансамбля по времен (по ансамблю – по dx).