2.4 Пример выполнения задания 2
Исходные данные:
F= 10 кH; q = 8 кН/м;
m = 5 кН·м; α = 600;
l = 10 м; а = 4 м; b = 4 м.
Рисунок 4
Решение.
Рассмотрим равновесие балки. Проведем координатные оси х и у, и изобразим действующие на балку силы и реакции опор (рисунок 4).
Для определения ХВ составим уравнение суммы проекций на ось х:
Σ Fiх = 0 - ХВ + F· соs α = 0
откуда
ХВ = F· соs α = 10000 · соs 600 = 5000 Н.
Для определения YВ составим уравнение суммы моментов относительно опоры А:
Σ МА (Fi) = 0 YВ · l + m - F· sin α ·a - q · b · ( a + b/2) = 0
Откуда
YВ = (- m + F· sin α · a) + q · b· ( a + b/2)) / l =
(-5000 + 10000 · sin 600 · 4 + 8000 · 4 · (4 + 4/2)) / 10 = 22164 H.
Для определения YA составим уравнение суммы моментов относительно опоры В:
Σ МВ (Fi) = 0 -YA ·l + m + F· sin α ·( l – a) + q · b· ( l – a – b/2) = 0
Откуда
YA = ( m + F· sin α ·( l – a) + q · b· ( l – a – b/2)) / l =
(5000 + 10000 · sin 600 · (10 – 4) +8000 · 4 · (10 - 4 - 4/2)) / 10 =18484 H.
Проверка:
Σ Fi у= 0 YA + YВ - F· sin α - q·b = 0
18496 + 22164 – 8660 – 32000 = 0.
Если значения реакций опор получаются со знаком минус, это означает, что их предварительное направление было указано неверно.
3 Центр тяжести плоских фигур
3.1 Основные теоретические сведения
Любое тело можно рассматривать как состоящее из большого числа малых частиц, на которые действуют силы тяжести. Все эти силы направлены к центру Земли по радиусу. Так как размеры тел, с которыми приходится иметь дело в технике, ничтожно малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что приложенные к частицам силы тяжести параллельны и вертикальны. Силы тяжести отдельных частиц тела образуют систему параллельных сил, равнодействующую которых, называют центром тяжести. Центр тяжести не меняет своего положения при повороте тела.
Центр тяжести симметричного тела всегда лежит в плоскости симметрии. Плоскость симметрии разделяет тело так, что каждой материальной точке, находящейся по одну сторону плоскости, соответствует равная ей по массе точка по другую сторону, причем линия, соединяющая эти точки, перпендикулярна плоскости симметрии и делит его пополам.
Очень часто приходится определять центры тяжести различных сочетаний тел, представляющих собой геометрические фигуры весьма сложной формы. В общем случае координаты центра тяжести плоской фигуры в ее плоскости определяются по формулам:
;
,
(1)
где
- полная площадь фигуры;
х и у – координаты центра тяжести отдельных фигур относительно выбранной системы координатных осей.
Для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры, имеющей конечное число отдельных частей правильной формы можно воспользоваться следующими формулами:
;
(2)
,
(3)
где F - площадь отдельной фигуры;
х и у – координаты центра тяжести отдельных фигур относительно выбранной системы координатных осей;
n – количество фигур простой формы.
Приведем сведения о координатах центров тяжести некоторых простых фигур. Центр тяжести параллелограмма, прямоугольника и квадрата совпадает сточкой пересечения диагоналей (рисунок 5, а, б, в). Центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан (рисунок 5, г). Центр тяжести круга находится в центре круга (рисунок 5, д). Положение центра тяжести полукруга (рисунок 5, е) определяют по формуле:
.
(4)
Приведем также формулы для определения площади простых фигур:
- для прямоугольника F = а · в; (5)
- для круга F = π·d2/4; (6)
- для треугольника F = а ·h / 2; (7)
- для полукруга F = π·R2/2. (8)
