22. Ф.К.П. Предел, непрерывность

Е сли каждому значению zÎG поставлено в соответствие одно(в случае однозначных функций) или несколько (в случае многозначных функций) значений wÎW, то говорят, что на множестве G значений Z задана функция w=f(az).

Односвязной областью называется такая область, для которой верно утверждение «Любая замкнутая область ограничивает область принадлежащую данной».

W=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y), где u-вещественная ,а v-мнимая части функции.

Функция w=f(z) устанавливающая соответствие между точками z и w , осуществляет отображение точек из области Z в область W.

Точки области G называется образами точек g при отображении w=f(z), а точки g называются прообразами соответствующих точек G.

Функция w=f(z) называется однозначной, если в каждой точке из области Z соответствует одна и только одна точка в плоскости W.

Если функция w=f(z) однозначна и такая, что обратная к ней функция z=F(w)(определенная на G) также однозначна, то тогда w=f(z) –однолистна на множестве g.

П усть w₀ ,z₀ конечные числа. Число w₀ называется пределом функции w=f(z)

" e>0 сущ. d(e)>0 т.ч.

|z-z₀|<d(*)=>|f(z)-w₀|<e(**)

Е сли w₀ или z₀ или оба вместе взять за бесконечность тогда неравенства меняются (*, **) или оба заменяются другими.Пример." e>0 сущ A т.ч.|z|>A=>|f(z)-w₀|

W=f(z)- непрерывна в точке z₀ если выполняются следующие условия:

1) f(z) определена в этой точке (.)z₀

2)$

3) f(z₀)=k

23.Диффиренцируемость. Коши-Риман.

Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.         В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.         Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.          Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Условие Коши-Римана.

Теорема: если  производная f^/(z), то выполняется условие =>

Доказательство: Пусть  f^/(z)<=>

По любому направлению z->0 и не зависит от этого стремления. z=x+iy=> в частности, z=x->0 и z=iy->0, т.е. по направлению ||Ox или || Oy

24-25.Геометрический смысл модуля и arg производной. Понятие о конформном отображ.

Пусть в плоскости Z задана точка z₀ и проходящая через нее кривая , равная =z=z(t), z(t)=x(t)+iy(t), пусть t=t₀, z₀=z(t₀)0 и  z^|(t₀)0, z^|(t₀)=x^|(t₀)+iy^|(t₀) 0

т.е. z^|(t₀)0=>x^|(t₀)0, y^|(t₀)0 => всегда  касательная => в точке z_o  z^|(t₀), причем x^|(t₀) и y^|(t₀) координаты касательной.

Функция f(z)-аналитична в окрестности точки z₀ и пусть f^/(z₀) 0, тогда запишем ₁ – образ  при отображении w=f(z)->ее уравнение имеет вид w=f(z(t)).

w(t)=f(z(t)) и w_o=w(t_o)=f(z(t_o))-образ z_o при w=f(z)

w^|(t_o)= f^| (z_o) z^|(t₀) (*) (w^|(t_o)0, т.к. f^| (z_o) и z^|(t₀) 0)=> касательная в точке w_o к кривой ₁ из (*)=> Arg w^|(t_o)=argf^|(z_o)+Argz^|(t₀). Отсюда видно, что f^|(z_o)=> argf^|(z_o) не зависит от кривой , поэтому f(z)-фиксирована , то Arg(w^|(z))=+Arg z^|(t₀), где =argf^|(z_o) не зависит от выбора кривой  через z_o.

=argf^|(z_o) равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z_o к любой кривой, проходящей через эту точку, чтобы получить направление касательной в соответствующей точке w_o к образу данной кривой  при отображении w=f(z).(Если >0 поворот против часовой стрелки иначе против).

_____________________________________________

Геометрический смысл модуля произв.

|z| - расстояние от точки z_o до точки (z_o+z)

|w|- расстояние от точки w_o=f(z_o)до точки (w_o+w)

| w|/|z|- указывает в каком отношении в результате отображения меняются расстояния.

|f^/(z)| - коэффициент расстояния точки z₀ при отображении w=f(z).

Если k>1 => расстояние между точками увеличивается, иначе (если k<1) расстояние уменьшается.

Конформные отображения…

Отображение w=f(z), сохраняющие углы между касательными линиями называется конформным.

Отображение, сохраняющие углы между линиями и направлениями отсчета углов, называются конформными 1-го рода.

Отображение, сохраняющие углы по абсолютной величине, но изменяющие направление отсчета угла на противоположенное, называются конформными 2-го рода.

27.интеграл от ФКП. Теорема Коши для односвязн. и многосвязн. областей (я его убил бы!)

н е зависит от пути интегрирования при 

Т еорема Коши: Если функция f(z) – аналитична в односвязной области G, ограниченная замкнутая контуром С, а также и на контуре С, то:

Доказательство: Пусть f(z) непрерывна.

Эти два интеграла тоже, что и криволинейный интеграл 2-го рода.

Так как f(z) аналитична выполняется условие Коши-Римана.

П осле подстановки условий К-Р можно сделать

вывод, что

(Теорема верна без предположения, что f(z) непрерывна) .

Пункт 2. Пусть область G многосвязная.

Рассмотрим многосвязную область G, ограниченную внешним контуром С₀ ивнутренними контурами С₁,С₂,…,С_n.

Пусть f(z)- аналитичная в области G и на контурах С₁,С₂,…,С_n. (С=С₀С₁… С_n).

Пусть

По замкнутому контуру С_k , обходится против часовой стрелки.

Соединим контура между собой дугами Область G разобьется на две односвязные области Г^/ и Г^// которые ограничиваю две односвязные области. Функция f(z) аналитична на контурах Г^/ и Г^// и в односвязных облостях которые они ограничивают. Из теоремы коши будем иметь:

При сложении интегралов в левой части интегралы

сократятся в силу того, что при обходе по первому контуру мы берем их со знаком плюс при обходе по второму контуры берем со знаком минус.

Пункт 3. Если интеграл f(z) по любому замкнутому контуру расположенному внутри области G равен 0 то интеграл по любой дуге принадлежащей G зависит только от начальной и конечной точек этой дуги и не зависит от пути интегрирования. Т.е. одинаков для всех дуг, имеющих общую начальную и конечную точки.

Доказательство:

Интеграл ФКП, его свойства. Методы вычисления Интеграла ФКП.

Вычисление интеграла от функции f(z) комплексного переменного z сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов, а именно:

где С кусочно-глаткая замкнутая или незамкнутая ориентированная кривая, лежащая в D.

Если f(z) аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования. В этом случае

Если кривая С задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t) и начальные и конечные точки дуги С соответствуют значения параметра t₀ и t₁, то

где z(t)=x(t)+iy(t).

Все свойства интегралов сохраняются для(такие как умножение на const…).

Если функция f(z) аналитична в односвязной D, содержащей точки z₀ и z₁, то имеет место формула Ньютона-Лейбница.

где (z)-какая-либо первообразная для функция f(z), т.ч. в области D  ^/(z)= f(z)

Также имеет место: интегрирования по частям, и замены переменной.

28.Интегральная формула Коши. Производн. Высших порядков

П усть f(z)- аналитичная в односвязной области G и на контуре Г, ограничивающую эту область G и пусть точка Z любая точка внутри контура, тогда имеет место интегральная формула Коши:

Доказательство:  - окружность с центром в точке z и радиусом  причем G. По теореме Коши для составного контура будем иметь.

Доказав (**). Подставим в (***).

Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке  . Вычислим производную , которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной:   . Аналогично определяют производную любого порядка:  .

30. Ряд Тейлора и ряд Лорана.

Тейлор: Если в точке z₀ f(z) аналитична, то в окрестности этой точки она представима рядом

где Г- окружность с центром в точке z=z₀ , целиком лежащая в окрестности точки z₀ , в которой функция f(z) аналитична.

Лоран (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце r < | z - z₀ | < R,    представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:          (1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2) где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z₀; в частности, - окружность  

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями  называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:  или  

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:  где   r  -  радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами

31. Изолир. особ. точки, их классификация.

Точка называется и.о.т. ФКП f(z)если в некоторой окрестности точки а f(z) аналитична всюду кроме самой точки а, т.е. в окрестности точки а других точек нет.

Разложение функции f(z) в ряд Лорана сходящийся к f(z) во всех точках круга с центром в и.о.т. а, кроме самой точки а называется разложением функции f(z) в ряд Лорана в окрестности и.о.т. а.

Z₀- устранимая особая точка f(z),если предел f(z) равен конечному числу.

Пусть в окрестности точки а f(z) ограничена (т.е.  const=M>0, |f(z)|M в любой точке z из окрестности точки а) тогда в ряде Лорана главной части нет, есть только правильная. И этот ряд имеет сходимость во всех точках окрестности точки а, кроме самой точки а. Тогда пусть f(a)=C₀, будем считать точка а правильной точкой f(z).

Z₀ – устранимая особая точка f(z), если предел функции в этой точке равен const.

Если точка Z₀ – устранимая особая точка, то ряд Лорана состоит только из правильной части.

Пусть f(z) неограниченна в окрестности точки а и предел в этой точке равен бесконечности, тогда точка а полюс f(z).

Если а полюс то предел равен бесконечности.

Также эта точка является нулем для функции (f(z))^–1

Вывод : точка а является полюсом для f(z) порядка n ,если она является нулем для функции (f(z))^–1 n‑ого порядка.

Точка а – полюс , когда f(z) можно представит в виде (см.вверх). т- порядок полюса.

Если а полюс порядка n для f(z) тогда и только тогда ,когда разложение в ряд Лорана в окрестности точки а содержит в главной части ровно n ненулевых членов.n<.

Точка а существенно особая точка функции f(z), если предел в этой точке не существует.

Точка а с.о.т. f(z), если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов отличных от 0

Рассмотри точку z= - особая точка.

Учитывая разложение в ряд Лорана при z=.

исследование идет через замену =1/z.

32. Вычет ФКП. Основная теорем о Выч.

П усть точка а 0 правельная или изолированная особая точка f(z) однозначная ФКП и пусть С простой контур(обходящийся 1 раз в положительном направлении ) и такой, что функция f(z) является аналитичной на контуре и внутри за исключением быть может самой точки а=> тогда величину называют вычетом f(z) в точке а и обозначают Выч[f(z),a].

Теорема Основная о вычетах.

П усть f(z) аналитичная функция вD за исключением изолирован-ных точек а₁,а₂,…,а_nD =>тогда для любого простого замкнутого контура C охватывающего все точки величина

по это формуле считаются контурные интегралы.

Доказательство: Пусть С – простойконтур на которой f(z)- аналитичная функция. Пусть внутри С f(z) аналитична, кроме точек а₁,а₂,…,а_n.

Проведем окружности С₁,С₂,…,С_n с центрами в точка а₁,а₂,…,а_n такчтобы окружности друг друга не касались. По теореме Коши для составного контура имеем.