2.2. Линейная структура

Определение 1. Линейной структурой (линейным пространством, векторным пространством) называют абелеву аддитивную группу (её элементы называют векторами), определённую над полем произвольной природы (элементы поля называют скалярами ), причём , а естественное согласование между группой и полем обеспечивается аксиомами дистрибутивности: , ассоциативности по элементам поля и унитарности . Поле вещественных чисел и поле комплексных чисел называют основными полями, полагая, что поле стандартно вложено в поле . Если основное поле любое, то его обозначают буквой . То есть линейная структура это четвёрка .

Комментарий. Для краткости обычно вместо говорят . Если абелева аддитивная группа определена над любым кольцом, то такая структура называется модулем. Иногда под векторным пространством понимают абелеву аддитивную группу, определённую над телом. Дадим прямое определение линейной структуры

Определение1^*. Множество называется линейным пространством (линейной структурой), если для любых двух его элементов x, y определен элемент (называемый суммой x и y), и для любого элемента и любого числа α определен элемент , причем выполнены следующие условия:

1) для любых элементов (коммутативность сложения); 2) для любых элементов (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения); 3) существует элемент (называемый нулевым элементом, или нулем пространства L) такой, что для любого элемента (существование нулевого элемента); 4) для любого элемента существует элемент (называемый обратным к x) такой, что (существование обратного элемента); 5) для любых элементов и любого числа α α(x+y)=αx+αy (дистрибутивность умножения суммы элементов на число); 6) для любых чисел любого элемента (α+β)x=αx+βx (дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент); 7) для любых (вещественных) чисел α, β и любого элемента (_αβ)x=α(βx) (ассоциативность умножения на число); 8) для любого элемента 1x=x (свойство единицы).

Примеры групп. Примерами групп являются целые, рациональные, действительные, комплексные числа по сложению, ненулевые рациональные, действительные, комплексные числа по умножению. Все эти группы являются абелевыми. Следующий пример групп возникает из векторных пространств. Пусть  — векторное пространство над полем F. Множество невырожденных линейных преобразований векторного пространства  образует группу. Легко проверить, что векторные пространства одинаковой размерности n над одним и тем же полем изоморфны пространству строк длины n, а множество невырожденных линейных преобразований совпадает с множеством невырожденных матриц.

Примеры колец. Множество полиномов образуют абелево кольцо с единицей ( ),множество рациональных чисел (нет нейтрального и противоположного элементов по умножению).

Примеры линейных структур.

Два тривиальных пространства: вещественные числа над полем вещественных чисел и нулевое пространство, состоящее из одного нулевого элемента.

Вещественные числа над телом рациональных чисел; вещественные числа над полем комплексных чисел не образуют векторное пространство (умножение комплексного числа на действительное есть число комплексное).

Комплексные числа над полем вещественных чисел.

Полиномы с степени не выше чем n над полем вещественных чисел.

Множество конечномерных линейных операторов.

Множество квадратных матриц.

Множество геометрических векторов на плоскости или в 3-мерном пространстве с обычным понятием равенства (совпадение при параллельном переносе) и обычными операциями сложения векторов и умножением вектора на число.

Множество векторов пространства и , то есть множества, состоящие из всевозможных (упорядоченных) наборов из n чисел (соответственно -- действительных или комплексных).

Множество всех непрерывных на заданном промежутке [a, b] функций. Это пространство можно рассматривать как линейное, если определить сумму элементов и умножение на вещественное число обычным образом. Нулевым элементом этого пространства является функция, тождественно равная нулю.

Последовательности вещественных чисел над полем вещественных чисел, удовлетворяющие условию .

Расширение поля как линейное пространство. Пусть поле включено в поле , то есть . Тогда поле можно рассматривать как линейное пространство над полем , так как и определено произведение по определению поля , а все аксиомы линейного пространства над полем выполнены, так как это аксиомы поля .

Для произвольного линейного пространства , как и для пространства , можно ввести понятие линейной зависимости и независимости системы векторов линейного пространства и, соответственно, понятие о размерности линейного пространства . Достаточно вместо векторов из пространства говорить о векторах из линейного пространства .

Определение 2. Линейное пространство называют бесконечномерным, если для любого натурального числа N в нём имеется система из N штук линейно независимых векторов.

Пример. 1. Покажем, что бесконечномерным является линейное пространство всех непрерывных (как и интегрируемых) на сегменте функций.

1. В силу определения 2 достаточно доказать, что на сегменте существует любое целое положительное число линейно-независимых элементов. Действительно, этому пространству принадлежат функции . Это система линейно-независимых векторов для любых . Действительно, возьмём производные вещественного числа , составим линейную комбинацию , приравняем её к - вектору, а нейтральным элементом будет функция, тождественно равная нулю на . Многочлен степени на может иметь не более, чем корней, а он тождественно равен нулю. Следовательно, нулевыми являются коэффициенты. Итак, равенство нулю линейной комбинации влечёт за собой равенство нулю всех коэффициентов линейной комбинации, значит, система векторов линейно независима.

2. Покажем это иначе. Пусть n – произвольное натуральное число. Положим:

Докажем, что система векторов является линейно независимой. Запишем равенство.

.

Положив последовательно , , получим

. Таким образом, равенство

влечет за собой равенство . Отсюда, векторы линейно независимы. Так как n – любое натуральное число, то, следовательно, векторное пространство всех непрерывных функций заданных на отрезке не имеет конечной системы линейно независимых векторов, для которых всякая система, содержащая на один вектор больше, была бы линейно зависима. Поэтому в этом пространстве нельзя ввести понятие конечной размерности.