Глава 3. Решение кристаллографических задач с помощью сетки г.В. Вульфа

1. Цель работы: научить студентов решать кристаллографические задачи с помощью сетки Г.В. Вульфа, для наглядного отображения элементов симметрии и граней кристаллов.

2. Задание по работе: решить кристаллографические задачи по вариантам на построение стереографических проекций дуг большого круга, угла между двумя направлениями и т.д.

3. Общие сведения о стереографической сетке Г.В. Вульфа

Для изображения кристаллов и решения кристаллографических задач требуются точные построения. Для этих целей используются специальные стереографические сетки. Наиболее широкое применение получила стереографическая сетка Г.В. Вульфа.

Сетка Г,В, Вульфа представляет собой проекцию дуг меридианов и параллелей на плоскость меридиана. Точка зрения помещается на экваторе и на сетке совмещается с центром проекций. Стереографическая сетка имеет диаметр 20 см и цену деления 2º. Каждый десятый градус для удобства отсчета выделяется жирной линией (рисунок 11).

3.1 Правила работы с сеткой Г.В. Вульфа

Для решения кристаллографических задач с помощью сетки Г.В. Вульфа используется лист кальки, соответствующий формату сетки. Лист кальки накладывается на сетку Вульфа и в центре ее наносят точку и четыре черточки в виде креста. Черточки не доходят до точки и не пересекаются. Черточки проводят по горизонтальному и вертикальному диаметрам сетки и при начале работы с сеткой совмещают их с диаметром, а точку – с центром проекций. С правой стороны кальки за концом горизонтального диаметра сетки проводят на кальке черточку за кругом проекций (рисунок 12).

Данная черточка будет в дальнейшем соответствовать нулевому значению долготы и даст начало отсчету ее в направлении по часовой стрелке по кругу в интервале от 0º до 360º. Центральная точка кальки соответствует 0º ρ. Полярное расстояние отсчитывается от этой точки по любому концу диаметра в направлении центральной точки, если велярное расстояние более 90º (до 180º). Таким образом, любая точка, расположенная на большем круге проекций, будет иметь Р=90º. Если точка расположена в центре кальки, то полярное расстояние может быть равно нулю или 180º.

Все решения задач проводят на кальке.

Задача 1

Построить стереографическую проекцию направления, заданного, координатами φ и ρ.

Таблица 5

Вариант	Некоторые направления А со сферическими координатами
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	70	80	90	100	105	115	125	135	145	165
	90º	80º	70º	60º	50º	45º	65º	78º	85º	35º

Требуется найти стереографическую проекцию этого направления.

Ход решения задачи:

1. Накладывают кальку на сетку Вульфа, совмещают центр кальки с центром сетки, а нулевую риску (0º φ) – с правым концом горизонтального диаметра сетки Вульфа.

2. От нулевой риски отсчитывают по часовой стрелке по кругу проекций φ=70, …80… и отмечают вспомогательной (соответственно варианту) черточкой – риской (рисунок 13).

3. Вращением кальки совмещают найденную риску с концом ближайшего диаметра сетки (центр кальки придерживают остро заточенным карандашом в совмещенном положении с центром сетки).

4. По данному диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной черточки отсчитывают полярное расстояние - 68º (данные определенного варианта) и отмечают найденную точку кружочками.

5. Возвращают кальку в исходное положение и обозначают кружочек буквой «а». Найденная точка является стереографической проекцией направления А.

В случае, если полярное расстояние какого-либо направления больше 90º, стереографическая проекция будет расположена в нижней полусфере. Отсчет полярного расстояния будет производиться от центра проекций в направлении круга и обратно – от круга к центру. Такая проекция обозначается крестиком (рисунок 13). Точка «в» с координатами: φ=205º, ρ=124º.

Задача 2

Провести дуги большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений.

Требуется провести дугу большого круга через стереографические проекции «а» и «с» направлений А и С.

Таблица 6

Направления А и С

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А	165º 68º	160º 72º	145º 22º	138º 30º	148º 35º	170º 45º	180º 48º	178º 50º	158º 55º	155º 72º
С	309º 55º	310º 60º	00º 40º	280º 45º	275º 48º	285º 55º	325º 58º	188º 68º	195º 70º	178º 75º

Ход решения задачи:

1. Вращением кальки совмещают обе точки «а» и «с» с одним из вспомогательных меридианов сетки.

2. Простым карандашом обводят меридиональную дугу, соединяющую точки «а» и «с», и возвращают кальку в исходное положение (рисунок 14).

В том случае, если точки будут располагаться на разных полусферах вращением кальки, вращением кальки приводят их на симметрично расположенные по отношению к центру меридиональные дуги и обводят их простым карандашом: через точку «а» - сплошной линией, через точку «с» - пунктирной.

Найденная дуга большого круга может изображать гномостереографическую проекцию ребра, лежащего на пересечении двух граней (в этом случае заданные точки являются гномостереографическими проекциями этих граней), или стереографическую проекцию грани, если точки – стереографические проекции ребер, лежащих в плоскости данной грани.

Задача 3

Измерить угол между двумя направлениями, заданными их стереографическими проекциями (угол между направлениями А и С см. рисунок 13).

Ход решения задачи:

1. Вращением кальки совмещают точки «а» и «с» с одной из меридиональных дуг сетки Вульфа.

2. По заданной дуге отсчитывают количество градусов, заключенных между точками «а» и «с», получают АС=113º.

3. Измеренный угол может быть углом между нормалями к граням, если точки «а» и «с» представляют собой их гномостереографические проекции или углом между ребрами, если данные точки – стереографические проекции ребер.

Задача 4

Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (полюсом дуги является точка, равноотстоящая от всех точек дуги на 90º). Требуется найти полюс дуги «ас».

Ход решения задачи:

1. Вращением кальки совмещают данную дугу с меридиональной дугой сетки Вульфа.

2. Отсчитывают от точки пересечения данной дуги с горизонтальным диаметром в направлении к центру сетки 90º по диаметру и отмечают найденную точку кружочком.

3. Вращают кальку в исходное положение и надписывают точку значком Рас.

Для найденного полюса можно найти сферические координаты: φ=62º, ρ=61º (см. задачу 2). Данный полюс может представлять собой стереографическую проекцию ребра кристалла, если дуга является гномостереографической проекцией грани, если данная дуга – стереографическая проекция этой грани.

Аналогичным способом находится полюс дуги «сd». Его координаты: φ=194º, ρ=59º.

Задача 5

Измерить угол между двумя дугами больших кругов. Допустим, что требуется определить угол между дугами «ас» и «аd» (рисунок14).

Ход решения задачи:

1. Вращением кальки совмещают точку пересечения дуг «а» (вершину определяемого угла) с горизонтальным диаметром сетки.

2. Принимают данную вершину за полюс и проводят соответствующую ему экваториальную дугу.

3. Измеряют отрезок дуги между точками пересечения данной дуги с заданными дугами. Измеренная величина дуги составит величину искомого угла.

Измеренный угол при вершине «а» равен 65º, при вершине «с» равен 75º, при вершине «d» - 116º.

Измеренные углы представляют собой углы между соответствующими гранями при условии, что заданные дуги больших кругов – стереографические проекции этих граней.

Контрольные вопросы

1. Дать определение стереографической сетки Г.В. Вульфа.

2. Что такое стереографическая проекция кристаллов?

Таблица 3 Сравнительная характеристика сингоний

Количество элементов симметрии	Категории и сингонии
	Высшая категория	Средняя категория				Низшая категория
	кубическая	гексагональна	Тетрагональная		тригональная	ромбическая	моноклинная	триклинная
Минимум элементов симметрии, необходимый и достаточный для отнесения кристалла к данной сингонии	Более одной оси высшего наименования*	Только одна ось высшего наименования				Ни одной оси высшего наименования. Обязательно присутствуют:
		L6		L4	L3	более одной L2 или P	L2 или P	нет элементов симметрии
Максимум элементов симметрии, возможный в каждой сингонии	3L44L36L29PC	L66L27PC		L44L25PC	L33L23PC	3L23PC	L2PC	C

* - осями высшего наименования называются L³, L⁴, L⁶